Функции нескольких переменных. Определение. Частной производной первого порядка функции нескольких переменных по аргументу х называется предел

Определение. Частной производной первого порядка функции нескольких переменных по аргументу х называется предел

(приращение получает только один аргумент х). Обозначение: . Отыскание частной производной сводится к дифференцированию функции одной переменной , полученной при фиксировании аргументов y и z: .

Пример 1. Найти частные производные функции .

Решение. Считая функцию и функцией только одной переменной х, а переменные у и z рассматривая как постоянные, находим . Аналогично, считая и функцией только у, а затем только z, получаем .

Пример 2. . Найти: и .

Решение. Рассматривая x как постоянную величину, получим

.

Рассматривая y как постоянную, найдём

.

Пример 3. . Найти: .

Решение. Имеем

;

Пример 4.Показать, что функция удовлетворяет уравнению

Решение. Находим

Подставим найденные выражения в левую часть уравнения:

Получаем тождество, т.е. функция z удовлетворяет данному уравнению.

Пример 5. Дана функция . Найти .

Решение. Найдем первые частные производные:

.

Дифференцируя повторно, получим:

.

Пример 6.Дана функция . Найти .

Решение.Найдем первую частную производную данной функции по переменной x:

Дата добавления: 2015-06-30; просмотров: 270; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!