Локальная теорема Лапласа

Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами. Например, если n = 50, k = 30, p = 0,1, то для отыскания вероятности Р₅₀ (30) надо вычислить выражение

Р₅₀ (30) =(50!/(30!20!)) , где 50! =30414093 , 30! =26525286 ,

20! = 24329020 10¹¹. Можно несколько упростить вычисления, пользуясь специальными таблицами лога­рифмов факториалов. Однако этот путь остается громоздким и к тому же имеет существенный недостаток: таблицы содержат приближенные значения логарифмов, поэтому в процессе вычислений накапливаются погреш­ности; в итоге окончательный результат может значи­тельно отличаться от истинного.

Можно вычислить интересующую нас вероятность, не прибегая к формуле Бернулли. Локальная теорема Лапласа дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно k раз в n испытаниях, если число испы­таний достаточно велико.

Для частного случая, для p = 1/2, асимптотическая формула была найдена в 1730 г. Муавром; в 1783 г. Лаплас обобщил формулу Муавра для произвольного p, отличного от 0 и 1. Поэтому тео­рему, о которой здесь идет речь, иногда называют теоремой Муавра—Лапласа.

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность p появ­ления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие A появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции

, где ,

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции , соответствующие положитель­ным значениям аргумента x. Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция четная = . Итак, вероятность того, что событие А появится в n независимых испытаниях ровно k раз, приближенно равна

, где , (47.6)

Пример.Найти вероятность того, что событие A наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Решение. По условию, n = 400; k = 80; p = 0,2; q= 0,8.

По асимптотической формуле Лапласа:

Вычислим определяемое данными задачи значение x:

x = (k - np)/ = (80 — 400 0, 2)/8 = 0.

По таблице приложения 1 находим (0) = 0,3989. Искомая вероятность

= (1/8) 0,3989 = 0,04986.

Формула Бернулли приводит примерно к такому же результату (выкладки ввиду их громоздкости опущены): = 0,0498.

Локальную формулу Лапласа следует применять при больших n и при p > 0.1.

Дата добавления: 2015-06-30; просмотров: 177; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!