Главная страница Случайная лекция Мы поможем в написании ваших работ! Порталы: БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика Мы поможем в написании ваших работ! |
Теорема Ферма
Лекция 6. Применение производных к исследованию функций Если функция f(x) имеет производную в каждой точке отрезка [а, b], то ее поведение можно исследовать с помощью производной f'(х). Рассмотрим основные теоремы дифференциального исчисления, лежащие в основе приложений производной.
Теорема Ферма
Теорема(Ферма) (о равенстве нулю производной). Если функция f(x), дифференцируема на интервале (a, b) и достигает наибольшего или наименьшего значения в точке с є (a, b), тогда производная функции в этой точке равна нулю, т.е. f'(с) = 0.
Рис. 1 Доказательство. Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (a, b) и в точке х = с принимает наибольшее значение M при с є (a, b) (рис. 1), т.е. f(с) ≥ f(x) или f(x) – f(c) ≤ 0 или f(с + Δх) – f(с) ≤ 0. Производная f'(x) в точке х = с: . Если x > c, Δх > 0 (т.е. Δх → 0 справа от точки с), то и поэтому f'(с) ≤ 0. Если x < с, Δх < 0 (т.е. Δх → 0 слева от точки с), то , откуда следует, что f'(с) ≥ 0. По условию f(x) дифференцируема в точке с, следовательно, ее предел при x → с не зависит от выбора направления приближения аргумента x к точке с, т.е. . Получаем систему , из которой следует f'(с) = 0. В случае, когда f(с) = т (т.е. f(x) принимает в точке с наименьшее значение), доказательство аналогичное. Теорема доказана. Геометрический смысл теоремы Ферма: в точке наибольшего или наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.
Дата добавления: 2015-06-30; просмотров: 282; Нарушение авторских прав Мы поможем в написании ваших работ! |