Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Укажем некоторые виды дифференциальные уравнений, допускающих понижение порядка.

I. Уравнение вида . После n-кратного интегрирования получается общее решение

II. Уравнение не содержит искомой функции и её производных до порядка включительно:

Порядок такого уравнения можно понизить на единиц заменой . Тогда уравнение примет вид

Из последнего уравнения, если это возможно, определяем , а затем находим из уравнения k-кратным интегрированием.

III. Уравнение не содержит независимого переменного:

Подстановка позволяет понизить порядок уравнения на единицу. При этом рассматривается как новая неизвестная функция от . Все производные выражаются через производные от новой неизвестной функции по

Подставив эти выражения вместо в уравнение, получим дифференциальное уравнение (n–1)-го порядка.

IV. Уравнение , однородное относительно аргументов , т.е.

Порядок такого уравнения может быть понижен на единицу подстановкой , где — новая неизвестная функция от .

V. Уравнение, записанное в дифференциалах,

в котором функция однородна относительно своих аргументов , если считать и — первого измерения, а и т.д. — измерения . Тогда будет иметь измерение , – измерение и т.д.

Для понижения порядка применятся подстановка . В результате получается дифференциальное уравнение между и , не содержащее явно , т. е допускающее понижение порядка не единицу (случай III).

Рассмотрим примеры на различные случаи понижения порядка дифференциального уравнения.

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Решение. Интегрируя последовательно данное уравнение, имеем:

Пример 2. Найти общее решение уравнения и выделить решение, удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Интегрируем это уравнение последовательно три раза:

Найдем решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Подставляя начальные данные в (1), будем иметь систему трёх уравнений

Отсюда . Искомым решением будет

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение третьего порядка .

Решение. Данное уравнение не содержит искомой функции и ее производной, поэтому полагаем . После этого уравнение примет вид

Разделяя переменные и интегрируя, найдем

Заменим на , получим .

Интегрируя последовательно, будем иметь

и

или

Пример 4. Решить уравнение пятого порядка .

Решение. Уравнение не содержит искомой функции и ее производных до третьего порядка включительно. Поэтому, полагая , получаем

откуда

Последовательно интегрируя, найдем

или , где .

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Уравнение не содержит независимого переменного . Полагая получаем уравнение Бернулли

Подстановкой оно сводится к линейному уравнению

общее решение которого . Заменяя на , получаем

Разделяя переменные и интегрируя, будем иметь

, откуда , где .

Это и есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения.

Пример 6. Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение однородно относительно . Порядок этого уравнения понижается на единицу подстановкой , где — новая неизвестная функция от . Имеем

Подставляя выражения для в уравнение, получаем

Сокращаем на

, или .

Это уравнение линейное. Левую часть его можно записать в виде , откуда

, или .

Находим интеграл:

Общим решением данного уравнения будет

, или .

Кроме того, уравнение имеет очевидное решение , которое получается из общего при .

Пример 7. Решить уравнение .

Решение. Покажем, что это уравнение — обобщенное однородное. Считая величинами 1-го, m-го, (m–1)-го и (m–2)-го измерений соответственно и приравнивая измерения всех членов, получаем

откуда . Разрешимость уравнения (2) является условием обобщенной однородности уравнения.

Сделаем подстановку . Так как

то данное уравнение после сокращения на множитель примет вид

Положив , получим . Отсюда или . Интегрируя второе уравнение, найдем

, или .

Общее решение этого уравнения будет . Возвращаясь к переменным и , получаем общее решение данного уравнения

Случай дает или — частное решение, которое получается из общего при .

Замечание. При решении задачи Кош и для уравнений высших порядков целесообразно определять значения постоянных в процессе решения, а не после нахождения общего решения уравнения. Это ускоряет решение задачи и, кроме того, может оказаться, что интегрирование значительно упрощается, когда постоянные принимают конкретные числовые значения, в то время как при произвольных интегрирование затруднительно, а то и вообще невозможно в элементарных функциях.

Пример 8. Решить задачу Коши .

Решение. Полагая , получаем откуда

, или .

Разделяя переменные, найдем

В правой части последнего равенства имеем интеграл от дифференциального бинома. Здесь и , т.е. неинтегрируемый случай.

Следовательно, этот интеграл не выражается в виде конечной комбинации элементарных функций. Однако если использовать начальные условия, то получим . Так что , откуда, учитывая начальные условия, окончательно находим .

Пример 9. Найти плоские кривые, у которых радиус кривизны пропорционален длине нормали.

Решение. Пусть — уравнение искомой кривой. Ее радиус кривизны . Длина нормали кривой равна (рис.24): .

Определяющее свойство кривой выражается дифференциальным уравнением

где — коэффициент пропорциональности, могущий принимать как положительные, так и отрицательные значения. Перепишем уравнение (3) в виде

Интегрируя, находим

, или .

Разделяя переменные и интегрирую еще раз, получаем

общий интеграл исходного уравнения (3). Рассмотрим некоторые частные случаи.

1) . Тогда будем иметь , и после интегрирования . Отсюда получаем . Искомые кривые — окружности произвольных радиусов с центрами на оси .

2) . В этом случае приходим к уравнению

Полагая , найдем, что . Таким образом, искомые кривые определяются в параметрической форме уравнениями:

Это — циклоиды, образованные качение по оси окружностей произвольных радиусов.

3) . В этом случае имеем

откуда

Складывая полученные равенства, будем иметь

это — цепные линии.

4) . Тогда будем иметь

, или .

Отсюда ; это — параболы, оси которых параллельны оси ординат .

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 314; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!