Уравнение касательной плоскости к прямому геликоиду в точке имеет вид …
2) Тема: Дифференциальная геометрия кривых
Длина дуги кривой при равна
Решение:
Длина дуги кривой вычисляется по формуле где дифференциал дуги. Вычислив получаем .
3) Тема: Основные понятия топологии
Внешностью множества в топологическом пространстве с топологией является пустое множество
Решение: Внешность M – это совокупность всех внутренних точек дополнения к множеству M, то есть входящих в дополнение к M с какой-либо своей окрестностью (открытым множеством). Дополнением является множество – закрытое множество, которое не содержит в себе ни одного открытого множества из данной топологии. Таким образом, внешностью множества в данном случае будет пустое множество.
4) Тема: Асимптоты кривой
Асимптоты кривой имеют вид и
Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей Уравнение касательной плоскости к эллиптическому параболоиду в точке имеет вид …
Решение: Для функции вида уравнение касательной плоскости имеет вид Найдем частные производные функции : Тогда уравнение касательной плоскости примет вид: Получим
Тема: Дифференциальная геометрия кривых Траектория движущейся точки задается уравнением Тогда значение нормального ускорения в момент равно …
Решение: Нормальное ускорение на параметрически заданной кривой вычисляется как Вычислим производные первого и второго порядка. Найдём Тогда при
Тема: Основные понятия топологии Внешностью множества в топологическом пространстве с топологией является …
Решение: Внешность – это совокупность всех внутренних точек дополнения к множеству , то есть входящих в дополнение к с какой-либо своей окрестностью (открытым множеством). Таким образом, внешностью множества в данном случае будет
Тема: Асимптоты кривой Уравнение асимптоты кривой, заданной в полярной системе координат , имеет вид …
Решение: Из условия существования асимптоты кривой получаем что . Так как , то уравнение асимптоты имеет вид:
Тема: Дифференциальная геометрия кривых Уравнение касательной к циклоиде в точке имеет вид …
Решение: В точке . Найдем производные: Тогда Подставляя полученные данные в уравнение касательной , получим или
Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей Вектор нормали к поверхности гиперболического параболоида в точке имеет координаты …
Решение: Координаты вектора нормали в точке к поверхности, заданной явно в виде , вычисляются по формуле . Вычислим частные производные функции в точке : ; . Тогда вектор нормали в точке будет равен:
Тема: Дифференциальная геометрия кривых Кривая задана в полярных координатах: . Тогда длина дуги при , равна …
Решение: Так как дифференциал дуги , то длина дуги вычисляется как:
Тема: Асимптоты кривой Асимптоты графика кривой , заданной в полярных координатах, имеют вид …
Решение: Из условия существования асимптоты кривой получаем что .Так как , и , , , .
То есть
Тогда график имеет две асимптоты:
Тема: Дифференциальная геометрия кривых Уравнение нормали к кривой в точке имеет вид …
Решение: Представим неявно заданную кривую в виде функции . Так как уравнение нормали кривой, заданной неявно, имеет вид , вычислим частные производные функции :
Их значения в точке равны:
Тогда, подставляя полученные данные в уравнение нормали, получим
или
Тема: Асимптоты кривой Кривая на плоскости задана уравнениями в параметрической форме: , . Тогда количество асимптот кривой равно …
Решение: Из условия существования горизонтальных асимптот: , , и , , следует, что – горизонтальная асимптота. Из условия существования вертикальных асимптот: , следует, что, так как нет таких , то вертикальные асимптоты отсутствуют. Из условия существования наклонных асимптот имеем: ,
То есть – наклонная асимптота. Всего асимптот две.
Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей Первая квадратичная форма поверхности имеет вид …
Решение: Параметризуем сферу :
Запишем ее в виде вектор-функции и вычислим ее частные производные: ; . Коэффициенты первой квадратичной формы определим по формулам ; ; . Тогда ; ; . Таким образом,
Тема: Дифференциальная геометрия кривых Траектория движущейся точки задается уравнением Тогда значение касательного ускорения в момент равно …
Решение: Касательное ускорение на параметрически заданной кривой вычисляется как . Вычислим производные первого и второго порядка.
Найдем , при любых значениях .
Тема: Асимптоты кривой Асимптоты кривой имеют вид …
и
и
Решение: Кривая описывается соотношением , то есть функция представлена в явном виде. В точке функция имеет разрыв, поэтому уравнение вертикальной асимптоты имеет вид: . Наклонные или горизонтальные асимптоты определяются уравнением (для горизонтальных асимптот ). 1. Находим асимптоту при (правую асимптоту): , . Следовательно, уравнение правой асимптоты имеет вид: . 2. Аналогично находим асимптоту при (левую асимптоту): , . Следовательно, уравнение левой асимптоты совпадает с уравнением правой асимптоты и имеет вид: . Таким образом, прямые и являются асимптотами заданной кривой.
Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей Точка с координатами на поверхности является …
гиперболической точкой
параболической точкой
эллиптической точкой
точкой уплощения
Решение: Тип точки на поверхности определяется по виду соприкасающегося параболоида в этой точке к поверхности. Построим соприкасающийся параболоид: . Вычислим частные производные второго порядка: ; ; . В точке ; ; . Тогда соприкасающийся параболоид , или является гиперболическим параболоидом, а сама точка относится к гиперболическому типу.
Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей Огибающая семейства сфер имеет вид …
Решение: Из системы следует, что , . Таким образом, огибающая имеет вид . Это цилиндр.
Тема: Основные понятия топологии Гомеоморфной к тору является …
«кружка с ручкой»
сфера
«крендель»
куб
Решение: Тор является многосвязным, а сфера и куб являются односвязными. Род тора равен 1, а род «кренделя» 2. Только с поверхностью «кружки с ручкой» можно установить взаимно-однозначное соответствие, поэтому поверхностью гомеоморфной к тору является поверхность «кружки с ручкой».
Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей Точка с координатами на поверхности является …
гиперболической точкой
параболической точкой
эллиптической точкой
точкой уплощения
Решение: Тип точки на поверхности определяется по виду соприкасающегося параболоида в этой точке к поверхности. Построим соприкасающийся параболоид: . Вычислим частные производные второго порядка: ; ; . В точке ; ; . Тогда соприкасающийся параболоид является гиперболическим параболоидом, а сама точка относится к гиперболическому типу.
Тема: Основные понятия топологии Тривиальная топологическая структура на множестве задается множеством …
Решение: Множество подмножеств данного множества задает топологию, если выполняются следующие свойства: – пустое множество и данное множество входят в ; – объединение любого числа и пересечение конечного числа подмножеств из снова принадлежит . А тривиальная топологическая структура состоит из пустого множества и самого множества , то есть верным будет ответ: .
Тема: Асимптоты кривой Асимптоты кривой имеют вид …
и
и
Тема: Дифференциальная геометрия кривых К кривой проведена нормаль, параллельная прямой . Тогда уравнение нормали имеет вид …
Решение: Угловой коэффициент прямой . Так как касательная перпендикулярна нормали, точку касания найдем из условия , или . Решив это уравнение, получим , . Тогда уравнение нормали примет вид: или
Тема: Асимптоты кривой Асимптоты графика функции задаются уравнениями …
,
,
,
Решение: Функция представлена в явном виде . В точке функция имеет разрыв, поэтому уравнение вертикальной асимптоты имеет вид . Наклонные или горизонтальные асимптоты определяются уравнением (для горизонтальных асимптот ). 1. Находим асимптоту при (правую асимптоту): , . Следовательно, уравнение правой асимптоты имеет вид . 2. Аналогично находим асимптоту при (левую асимптоту): ; . Следовательно, уравнение левой асимптоты совпадает с уравнением правой асимптотой и имеет вид . Таким образом, прямые и являются асимптотами заданной кривой.
Тема: Основные понятия топологии Тривиальная топологическая структура на множестве задается множеством …
Решение: Множество подмножеств данного множества задает топологию, если выполняются следующие свойства: – пустое множество и данное множество входят в ; – объединение любого числа и пересечение конечного числа подмножеств из снова принадлежит . А тривиальная топологическая структура состоит из пустого множества и самого множества , то есть верным будет ответ: .
Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей Первая квадратичная форма поверхности имеет вид …
Тема: Дифференциальная геометрия кривых Траектория движущейся точки задается уравнением Тогда значение касательного ускорения в момент равно …
Решение: Касательное ускорение на параметрически заданной кривой вычисляется как . Вычислим производные первого и второго порядка.
Найдем , при любых значениях .
Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей Вектор нормали к поверхности гиперболического параболоида в точке имеет координаты …
Решение: Координаты вектора нормали в точке к поверхности, заданной явно в виде , вычисляются по формуле . Вычислим частные производные функции в точке : ; . Тогда вектор нормали в точке будет равен:
Тема: Асимптоты кривой Асимптоты кривой имеют вид …
Решение: Для кривой, заданной неявно многочленом - ой степени уравнения асимптот задаются соотношением: , где - совокупность членов степени , а и находятся из уравнения . Составив уравнение , получим зависимость между и : . Так как ; ; , то уравнение асимптоты примет вид: и