Вычисление пределов с помощью производных. Правила Лопиталя

Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида и , который основан на применении производных.

Теорема (правило Лопиталя раскрытия неопределенности ).

Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки и обращаются в нуль в этой точке: . Пусть в окрестности точки . Если существует предел отношения производных , то существует и предел , причем справедлива формула .

Коротко полученную формулу читают так: предел отношения двух бесконечно малых функций равен пределу отношения их производных, если последний существует.

Пример 1. Найти .

Решение. .

Пример 2. Найти .

Решение. .

Можно применить формулу два раза.

Теорема (правило Лопиталя раскрытия неопределенности вида ).

Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки (кроме, может быть, точки ), в этой окрестности , . Если существует предел , то .

Пример 3. Найти .

Решение.

.

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 191; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!