Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида:

,

где - независимая переменная, - искомая функция, первая и вторая ее производные.

Теорема Коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнения второго порядка. Пусть функция и ее частные производные и непрерывны в некоторой области пространства переменных . Тогда для любой внутренней точки этой области существует единственное решение уравнения удовлетворяющее условиям .

Условия называются начальными условиями, а задачу отыскания решения уравнения по заданным начальным условиям называют задачей Коши.

Пример. Найти решение задачи Коши: .

Решение: Найдем общее решение:

.

Воспользуемся начальными условиями и найдем частное решение:

.

Ответ: - решение задачи Коши.

Типы дифференциальных уравнений второго порядка:

1. Уравнения, допускающие понижение порядка, бывают трех видов:

А) . Для решения используется замена: , тогда , а .

Б) . В этом случае замена имеет вид: , тогда , а .

В) . Замена: . Тогда , а общее решение можно представить в виде: .

Пример. Найти решение уравнения: .

Решение: В нашем случае , следовательно, используем замену: и получим уравнение с разделяющимися переменными

.

Выполняем обратную замену:

.

Ответ: .

2. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка – это уравнение вида: , где - искомая функция, - известные непрерывные функции на интервале . Если , то уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением. Если , то линейным неоднородным дифференциальным уравнением.

А) Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами: , где - вещественные числа.

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет два базисных решения, по которым строится общее решение уравнения. Решения и уравнения называются линейно независимыми, если их линейная комбинация равна нулю , лишь в том случае, когда .

Теорема. Пусть решения и уравнения линейно независимы на интервале . Тогда функция , где и - произвольные постоянные, является общим решением однородного уравнения .

Решение уравнения будем искать в виде , где - некоторое число. Поставим эту функцию в уравнение и получим . Разделим обе части на и будем иметь - это уравнение называется характеристическим уравнением для дифференциального уравнения .

Вид общего решения зависит от того какие корни и имеет характеристическое уравнение .

Теорема. Если корни характеристического уравнения:

· вещественные и различные, т.е. , то общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид .

· вещественные и равны между собой, т.е. , то общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид .

· комплексные , где , а и - вещественные числа, то общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид , где .

Во всех трех случаях и - произвольные постоянные.

Пример. Найти общее решение: а) ; б) ; в) .

Решение:

а) Характеристическое уравнение имеет вид: . Оно имеет два различных вещественных корня , следовательно .

б) Характеристическое уравнение: . Оно имеет два вещественных корня, равных между собой , тогда общее решение имеет вид .

в) Характеристическое уравнение: . В этом случае, мы имеет комплексные корни , следовательно, .

Ответ: а) ; б) ;

в) .

Б) Неоднородные уравнения второго порядка – это уравнения вида .

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка состоит из суммы общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения и некоторого частного решения неоднородного дифференциального уравнения , т.е. .

Вид частного решения зависит от функции и корней характеристического уравнения:

· Если , где - многочлен степени . Тогда , где - многочлен степени в общем виде, а

· Если , где - заданные действительные числа. Тогда , где и - неизвестные числа, а .

Пример. Найти решение уравнения: .

Решение: Находим общее решение соответствующего однородного уравнения , которое будет иметь вид: .

Частное решение будем искать виде , тогда , . Подставляем в исходное уравнение:

Следовательно, , а общее решение .

Ответ: .

Пример. Найти решение задачи Коши:

.

Решение: Находим общее решение соответствующего однородного уравнения , которое будет иметь вид: .

Частное решение будем искать виде , тогда , . Подставляем в исходное уравнение: , т.е. .

Общее решение уравнения получим в виде: .

Найдем значение констант с помощью заданных начальных условий:

Ответ: .

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 347; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!