Уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка

Отметим три частных вида уравнения 1 когда решение его с помощью замены переменной сводится к решению уравнения первого порядка. Такое преобразование уравнения 1 называется понижением порядка. Рассмотрим эти частные случаи.

1*. Уравнение вида y’’=f(x). Уравнение не содержит у и первой производной. Введем новую функцию z(x)=y’. Тогда z’(x)=y’’, уравнение превращается в уравнение первого порядка: z’(x)=f(x)с искомой функцией z(x). Решая находим z(x)=òf(x)dx+ C₁ или, так как z(x)=y’ , y’= òf(x)dx+ C_{1 .} Отсюда, интегрируя еще раз, получим искомое решение:

у=ò[òf(x)dx]dx+ C₁x+ C₂

где C₁ и C₂ – произвольные постоянные.

Пример 1.найти общее решение уравнения y’’=x.

Решение.

Полагая y’=z(x0 получаем уравнение первого порядка z’(x)=x. Интегрируя его находим z(x)=x²/2+C₁ . Заменяя z(x) на y’ и интегрируя еще раз находим искомое общее решение:

y=ò[ x²/2+C₁]dx+ C₂ = x³/6+C₁x+ C₂.

2*. Уравнение вида y’’=f(x,y’). Уравнение не содержит у. Положим, как и в предыдущем случае z(x)=y’, тогда z’(x)=y’’, и уравнение преобразуется в уравнение первого порядка относительно z(x): z’=f(x,z). Решив его находим z(x)= или так как z(x)=y’, y’=j(x,C₁). Отсюда интегрируя еще один раз получим искомое решение:

y=òj (x,C₁)dx+ C₂.

Где C₁ иC₂ произвольные постоянные.

Пример 2. Найти общее решение уравнения y’’ – 3y’/x=x.

Решение. положив z(x)=y’ и z’(x)=y’’, получим линейное уравнение первого порядка z’-3z/x=x. Решив его найдем z(x)=C₁ x³ - x². Тогда y’=C₁ x³ - x² и у=C₁ x⁶/4- x³/3+C_2.

подставим в уравнение выражение y’ , y’’ получим уравнение первого порядка относительно z как функции

где C₁ иC₂ произвольные постоянные.

Пример 3. Найти общее решение уравнения

yy’’ –2y’²=0

Решение. Полагая y’=z(y), y’’=zdz/dy, получим zydz/dy – 2z²=0. Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Приводя его к виду dz/z=2dy/y и интегрируя, получим ln|z|=2ln|y|+ln |C₁| , z= C₁y². Вспоминая что z=dy/dx, найдем dy/y² = C₁dx откуда приходим к искомому решению:

-1/у= C₁х+ C₂, или у= -1/(C₁х+C₂).

Следует заметить что при сокращении на z было потеряно решение уравнения z=y’=0, y=C=const. В данном случае оно содержится в общем решении так как получается из него при C₁=0.

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 235; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!