Теорема Умова-Пойнтинга. Вектор Пойнтинга

Эта теорема устанавливает энергетические соотношения в электромагнитном поле и направление потока энергии. Рассмотрим малый объем dV в области, занятой электромагнитным полем. В пределах этого объема поле будем считать однородным, т.е. в любой точке объема действуют одинаковые вектора

. Электромагнитное поле обладает энергией, плотность которого определяется выражениями:

- плотность энергии электрического поля,

– плотность энергии магнитного поля.

Энергия электромагнитного поля в малом объеме

. (5.40)

Умножим первое уравнение Максвелла на :

. (5.41)

Умножим второе уравнение на :

. (5.42)

В результате получим

, (5.43)

. (5.44)

Вычтем из первого уравнения второе

. (5.45)

В соответствие с математической формулой

, (5.46)

преобразуем левую часть:

. (5.47)

Проинтегрируем уравнение по объему с учетом последнего выражения,

. (5.48)

Преобразуем левую часть по теореме Остроградского. Первое слагаемое правой части это мощность тепловых потерь в объеме. Во втором слагаемом поменяем местами операции интегрирования и дифференцирования. При этом интеграл дает величину энергии электромагнитного поля в рассматриваемом объеме. С учетом этого получим выражение:

- . (5.49)

Это выражение носит название теоремы Умова-Пойнтинга. Подинтегральное выражение

(5.50)

представляет собой вектор и носит название вектора Пойнтинга. Размерность определяется следующим образом.

; ; .

Таким образом, вектор определяет плотность потока энергии, проходящей в единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно движению энергии. Другими словами, вектор показывает направление движения энергии в данной точке. Левая часть теоремы – поток энергии за единицу времени сквозь замкнутую поверхность S , ограничивающую рассматриваемый объем. Этот поток положителен, если он выходит из объема, наоборот.

Теорема Умова-Пойнтинга это баланс энергии для объема V , ограниченного поверхностью S. В левой части – количество энергии поступающей извне в данный объем за единицу времени. Правая часть показывает, что эта энергия расходуется на тепловые потери (нагрев) и на изменение энергии электромагнитного поля.

5.8. Общая схема движения энергии в электрической цепи.

Рассмотрим цепь постоянного тока, содержащую источник э.д.с., приемник энергии и провода, имеющие активное сопротивление. Пусть по проводнику длиной l радиуса r с сопротивлением R протекает постоянный ток I . К поверхности проводника применим теорему Умова-Пойнтинга.

При постоянном токе изменение электромагнитной энергии отсутствует. Следовательно:

. (5.51)

При протекании тока по проводнику создается падение напряжения с напряженностью Е_τ , направленной вдоль проводника. Это тангенциальная составляющая электрического поля

. (5.52)

Вектор Н напряженности магнитного поля направлен по касательной к поверхности поперек проводника. Согласно закону полного тока

, H 2π r = I , .

Тогда плотность энергии П_n, входящей через поверхность внутрь проводника :

. (5.53)

Поток вектора через боковую поверхность:

. (5.54)

Такая же величина получится и по закону Ома.

Рассмотрим рис. 5.8. Вектор Пойнтинга у источника выходит наружу. В проводах энергия частично входит внутрь из-за наличия активного сопротивления и падения напряжения. Основная часть энергии движется вдоль поводов в окружающем пространстве. Провода служат только для направления энергии к потребителю. У потребителя вектор Пойнтинга направлен внутрь, а энергия заходит и превращается в тепло.

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 914; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!