Бинарные деревья

Бинарные деревья являются деревьями со степенью не более двух.

Бинарное (двоичное) дерево – это динамическая структура данных, представляющее собой дерево, в котором каждая вершинаимеет не более двух потомков ( рис. 31.3). Таким образом, бинарное дерево состоит из элементов, каждый из которых содержит информационное поле и не более двух ссылок на различные бинарные поддеревья. На каждый элемент дерева имеется ровно однассылка.

Рис. 31.3.Бинарное дерево и его организация

Каждая вершина бинарного дерева является структурой, состоящей из четырех видов полей. Содержимым этих полей будут соответственно:

• информационное поле (ключ вершины);
• служебное поле (их может быть несколько или ни одного);
• указатель на левое поддерево;
• указатель на правое поддерево.

По степени вершин бинарные деревья делятся на :

Рис. 31.4.

• строгие – вершины дерева имеют степень ноль (у листьев) или два (у узлов);
• нестрогие – вершины дерева имеют степень ноль (у листьев), один или два (у узлов).

В общем случае у бинарного дерева на k -м уровне может быть до 2^k-1 вершин. Бинарное дерево называется полным, если оно содержит только полностью заполненные уровни. В противном случае оно является неполным.

Дерево называется сбалансированным, если длины всех путей от корня к внешним вершинам равны между собой. Дерево называетсяпочти сбалансированным, если длины всевозможных путей от корня к внешним вершинам отличаются не более, чем на единицу.

Бинарное дерево может представлять собой пустое множество. Бинарное дерево может выродиться в список .

Рис. 31.5.Список как частный случай бинарного дерева

Структура дерева отражается во входном потоке данных так: каждой вводимой пустой связи соответствует условный символ, например, '*' (звездочка). При этом сначала описываются левые потомки, затем, правые.

Рис. 31.6.Адресация в бинарном дереве

Бинарные деревья могут применяться для поиска данных в специально построенных деревьях (базы данных), сортировки данных, вычислений арифметических выражений, кодирования (метод Хаффмана) и т.д.

Описание бинарного дерева выглядит следующим образом:

struct имя_типа {

информационное поле;

[служебное поле;]

адрес левого поддерева;

адрес правого поддерева;

};

где информационное поле – это поле любого ранее объявленного или стандартного типа;

адрес левого (правого) поддерева – это указатель на объект того же типа, что и определяемая структура, в него записывается адрес следующего элемента левого (правого) поддерева.

Идеально сбалансированным называется дерево, у которого для каждой вершины выполняется требование: число вершин в левом и правом поддеревьях различается не более, чем на 1. Однако идеальную сбалансированность довольно трудно поддерживать. В некоторых случаях при добавлении/удалении может потребоваться значительная перестройка дерева, не гарантирующая логарифмической сложности. Поэтому Г.М.Адельсон-Вельский и Е.М.Ландис ввели менее строгое определение сбалансированности и доказали, что при таком определении можно написать программы добавления/удаления, имеющие логарифмическую сложность и сохраняющие дерево сбалансированным.

Дерево считается сбалансированным по АВЛ (в дальнейшем просто «сбалансированным»), если для каждой вершины выполняется требование: высота левого и правого поддеревьев различаются не более, чем на 1. Не всякое сбалансированное дерево идеально сбалансировано, но всякое идеально сбалансированное дерево сбалансировано.

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 208; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!