Алгоритм Флойда-Уоршалла

Наиболее часто используемое название, метод получил в честь двух американских исследователей Роберта Флойда и Стивена Уоршелла, одновременно открывших его в 1962 году. Реже встречаются другие варианты наименований: алгоритм Рой – Уоршелла или алгоритм Рой – Флойда. Рой – фамилия профессора, который разработал аналогичный алгоритм на 3 года раньше коллег (в 1959 г.), но это его открытие осталось безвестным. Алгоритм Флойда – Уоршелла – динамический алгоритм вычисления значений кратчайших путей для каждой из вершин графа. Метод работает на взвешенных графах, с положительными и отрицательными весами ребер, но без отрицательных циклов, являясь, таким образом, более общим в сравнении с алгоритмом Дейкстры, т. к. последний не работает с отрицательными весами ребер, и к тому же классическая его реализация подразумевает определение оптимальных расстояний от одной вершины до всех остальных.

Для реализации алгоритма Флойда – Уоршелла сформируем матрицу смежности D[][] графа G=(V, E), в котором каждая вершина пронумерована от 1 до |V|. Эта матрица имеет размер |V|´|V|, и каждому ее элементу D[i][j] присвоен вес ребра, идущего из вершины i в вершину j. По мере выполнения алгоритма, данная матрица будет перезаписываться: в каждую из ее ячеек внесется значение, определяющее оптимальную длину пути из вершины i в вершину j (отказ от выделения специального массива для этой цели сохранит память и время). Теперь, перед составлением основной части алгоритма, необходимо разобраться с содержанием матрицы кратчайших путей. Поскольку каждый ее элемент D[i][j] должен содержать наименьший из имеющихся маршрутов, то сразу можно сказать, что для единичной вершины он равен нулю, даже если она имеет петлю (отрицательные циклы не рассматриваются), следовательно, все элементы главной диагонали (D[i][i]) нужно обнулить. А чтобы нулевые недиагональные элементы (матрица смежности могла иметь нули в тех местах, где нет непосредственного ребра между вершинами i и j) сменили по возможности свое значение, определим их равными бесконечности, которая в программе может являться, например, максимально возможной длинной пути в графе, либо просто – большим числом.

Ключевая часть алгоритма, состоя из трех циклов, выражения и условного оператора, записывается довольно компактно:

Для k от 1 до |V| выполнять
Для i от 1 до |V| выполнять
Для j от 1 до |V| выполнять
Если D[i][k]+D[k][j]<D[i][j] то D[i][j] ←D[i][k]+D[k][j]

Кратчайший путь из вершины i в вершину j может проходить, как только через них самих, так и через множество других вершин k∈(1, …, |V|). Оптимальным из i в j будет путь или не проходящий через k, или проходящий. Заключить о наличии второго случая, значит установить, что такой путь идет из i до k, а затем из k до j, поэтому должно заменить, значение кратчайшего пути D[i][j] суммой D[i][k]+D[k][j].

void FU(int D[][maxV], int V)
{
int k;
for (i=0; i<V; i++) D[i][i]=0;

for (k=0; k<V; k++)
for (i=0; i<V; i++)
for (j=0; j<V; j++)
if (D[i][k] && D[k][j] && i!=j)
if (D[i][k]+D[k][j]<D[i][j] || D[i][j]==0)
D[i][j]=D[i][k]+D[k][j];

for (i=0; i<V; i++)
{
for (j=0; j<V; j++) cout<<D[i][j]<<"\t";
cout<<endl;
}
}

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 230; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!