КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Комплексным числом z называется упорядоченная пара (x,y) вещественных чисел x и y (или вектор (x,y)).

Комплексные числа z₁=(x₁,y₁) и z₂=(x₂,y₂) считаются равными тогда и только тогда, когда x₁=x₂, y₁=y_2.

Сумма и произведение комплексных чисел z₁=(x₁,y₁) и z₂=(x₂,y₂₎ определяются равенствами

В частности:

Следовательно, множество действительных чисел вкладывается в множество комплексных чисел и можно отождествить комплексное число вида (x,0) и действительное число x: (x,0) x.

Введем обозначение

.

Тогда по правилам умножения

.

Теперь любое комплексное число можно записать в виде

При этом x называют действительной частью z и обозначают Rez, а y – мнимой частью z и обозначают Imz.

Такую форму записи называют алгебраической формой записи комплексного числа. Арифметические операции с комплексными числами в алгебраической форме могут быть записаны следующим образом:

сложение

вычитание

умножение .

(Как видно из последнего равенства, комплексные числа перемножаются как двучлены.)

Деление:

Возведение в степень:

,

где n – целое положительное число.

(Отметим, что перемножать, делить и возводить в степень часто удобнее, когда комплексное число задается в тригонометрической или показательной форме, см. далее по тексту.)

Комплексные числа – называют сопряженными.

Геометрически каждое комплексное число z=x+iy изображается точкой М(х,у) на координатной плоскости хОу, и тогда плоскость хОу называют плоскостью комплексных чисел, которую будем обозначать через C или C_z.

Полярные координаты r и j точки M называют модулем и аргументом комплексного числа z и обозначают r=|z|, j =Аrgz.

Функция Аrgz – многозначная, так как каждой точке z соответствует бесконечное множество значений аргумента, отличающихся друг от друга на 2pk (k – целое число). То из значений Аrgz, которое удовлетворяет неравенству - p < j p ,называют главным значением аргумента и обозначают аrg z. Тогда можно записать, что Аrg z= arg z +2pk, k – целое .

Для определения аrgz справедливо правило:

Имеют место следующие соотношения:

(Очевидно, что последние равенства верны и для аrg z.)

Два комплексных числа z₁ и z₂ равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а их аргументы либо равны, либо отличаются на величину, кратную 2p . Заметим, что иногда в качестве главного значения аргумента принимают угол от 0 до 2p.

Выписав соотношения, связывающие полярные и декартовы координаты точки x=rcosj , y=rsinj ,приходим к тригонометрической форме записи комплексного числа:

z= r(cosj + isinj ).

Ясно, что

Для чисел, заданных в тригонометрической форме, имеем , k – целое число.

Отметим, что для умножения, деления и возведения в целую степень комплексных чисел в тригонометрической форме z₁= r₁(cosj₁+isinj₁), z₂=r₂(cos j ₂+isinj ₂)верны формулы:

zⁿ=rⁿ(cos nj +isin nj ),

(здесь n может быть как целым положительным, так и целым отрицательным числом).

В частности, имеет место формула Муавра:

(cosj +sinj )ⁿ=cos nj +sin nj .

Если n – целое положительное число, то извлечение корня n-й степени из комплексного числа z=r(cosj+isinj ) осуществляется по формулам:

Заметим, что если положить

(это соотношение называют формулой Эйлера), то приходим к показательной форме записи комплексного числа

z=re^ij .

Как легко проверить, для e^ij выполняются правила операций со степенями, и тогда формулы умножения, возведения в натуральную степень и извлечения корня приобретают вид:

n – целое;

, n – целое положительное число, k=0,1,..., n–1.

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 227; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!