Метод ветвей и границ решения задач ЦЛП

Наиболее известным комбинаторным методом является метод ветвей и границ, который также опирается на процедуру решения задачи с ослабленными ограничениями. При таком подходе из. рассматриваемой задачи получаются две подзадачи путем специального «разбиения» пространства реше­ний и отбрасывания областей, не содержащих допустимых целочисленных решений.

В случае когда целочисленные переменные являются булевыми, применяются комбинированные методы. Булевы свойства переменных существенно упрощают поиск решения.

Рассматриваемый в данном разделе метод ветвей и границ решения задачи цело­численного программирования также опирается на решение задачи с ослабленными ограничениями. Метод ветвей и границ непосредственно применим как к полностью, так и к частично целочисленным задачам.

Согласно общей идее метода, сначала решается задача с ослабленными ограничениями (задача линейного программирования). Пусть х_r — целочисленная переменная, значение которой в оптимальном решении ослабленной задачи является дробным. Интервал

[ ] < x_r < [ ] + 1

не содержит допустимых целочисленных компонент решения. Поэтому допустимое целое значение х_r должно удовлетворять одному из неравенств

x_r ≤ [ ] или х_r ≥ [ ] + 1

Введение этих условий в задачу с ослабленными ограничениями порождает две не связанные между собой задачи. В таком случае говорят, что исходная задача разветвляется (или разбивается) на две подзадачи. Осуществляемый в процессе ветвления учет необходимых условий целочисленности позволяет исключить части многогранника допустимых решений, не содержащие точек с целыми координатами.

Затем каждая подзадача решается как задача линейного программирования (с целевой функцией исходной задачи). Если полученный оптимум оказывается допустимым для целочисленной задачи, такое решение следует зафиксировать как наилучшее. При этом нет необходимости продолжать «ветвление» подзадачи, поскольку улучшить полученное решение, очевидно, не удастся. В противном случае подзадача, в свою очередь, должна быть разбита на две подзадачи опять при учете условия целочисленности переменных, значения которых в оптимальном решении не являются целыми. Разумеется, как только полученное допустимое целочисленное решение одной из подзадач оказывается лучше имеющегося, оно фиксируется вместо зафиксированного ранее. Процесс ветвления продолжается, насколько это возможно, до тех пор, пока каждая подзадача не приведет к целочисленному решению или пока не будет установлена невозможность улучшения имеющегося решения. В этом случае зафиксированное допустимое решение является оптимальным.

Эффективность вычислительной схемы метода можно повысить, введя в рассмотрение понятие границы, на основе которого делается вывод о необходимости дальнейшего разбиения каждой из подзадач. Если оптимальное решение подзадачи с ослабленными ограничениями обеспечивает худшее значение целевой функции, чем имеющееся решение, эту подзадачу далее рассматривать не следует. В таких случаях говорят, что подзадача прозондирована, и ее можно вычеркнуть из списка подзадач, порожденных исходной задачей. Иными словами, как только получено допустимое целочисленное решение некоторой подзадачи, целочисленное решение некоторой подзадачи, соответствующее значение целевой функции может быть использовано в качестве (верхней в случае минимизации и нижней в случае максимизации) границы, наличие которой позволяет формализовать процедуру исключения прозондированных подзадач.

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 242; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!