ТЕМА 7. СОСТЯЗАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

7.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ИГР 147

7.2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИГРЫ 150

7.3. ИГРЫ С ПРИРОДОЙ 155

7.4. БИМАТРИЧНЫЕ ИГРЫ 165

7.5. ПОНЯТИЕ КОАЛИЦИОННЫХ ИГР 177

7.6. ПРАКТИЧЕСКИЙ БЛОК 178

7.7 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ 186

Основные понятия теории игр.

Решение многих экономических задач для индивидуального участника экономических отношений (производителя, потребителя, продавца, покупателя и т.п.) сводится к максимизации полезности при условии сбалансированности своего бюджета. Задачи часто выражаются альтернативно, как, например, максимизация выпуска продукции при заданных издержках или минимизация издержек при данном выпуске. Каждый индивидуум старается достичь максимума своей прибыли, и на его действия не оказывают влияния действия других индивидуумов.

Однако в других экономических ситуациях возникают конфликты интересов, которые должны быть разрешены. Конфликты интересов возникают между продавцом и покупателем, между конкурирующими продавцами (производителями). Более сложные ситуации возникают, если образуются коалиции лиц, участвующих в столкновении интересов, например, в том случае, когда ставки заработной платы определяются союзами рабочих и предпринимателей. Решение таких проблем поднимает более сложные вопросы о стратегиях поведения участников, и соответствующие математические формулировки этих проблем и методы их решения составляют теорию игр.

Игра – это совокупность правил и процедур, которым подчиняются ее участники для достижения своей цели. Каждый участник (игрок) имеет множество возможных ходов, выбрать один из них – значит сделать ход. Партия – это последовательность ходов, сделанных в соответствии с правилами игры и приводящих ее к конечному состоянию. Во многих играх достижение цели сопровождается каким-нибудь выигрышем. Выигрыш в игре будем рассматривать в количественном выражении, причем отрицательное значение выигрыша интерпретируется как проигрыш.

Игра с нулевой суммой – это такая игра, в которой сумма выигрышей участников равна нулю.

Стратегия – это установленный игроком метод выбора решения при каждом ходе в течение игры.

Будем рассматривать конечную игру, то есть игру с конечным числом ходов и конечным числом стратегий.

Платежная матрица – это таблица, которая определяет, какие выигрыши должны быть получены игроками после завершения игры.

Рассмотрим игру двух лиц с нулевой суммой.

Обозначим игроков А и В, и пусть А имеет n вариантов хода, а В имеет m вариантов. Пусть игра заключается в том, что игроки делают по одному ходу и А выигрывает у В сумму a_ij, если А выбрал вариант i (i=1,2,…,n), а В выбрал вариант j (j=1,2,…,m). Тогда платежная матрица для игрока А имеет вид:

a₁₁ a₁₂ …a_1m

A = [a_ij ] = a₂₁ a₂₂ …a_2m

………..

a_n1 a_n2 …a_nm

Если выигрыш игрока А равен проигрышу игрока В, возникает игра двух лиц с нулевой суммой. В этом случае платежную матрицу для игрока В нет необходимости рассматривать самостоятельно, так как В = – А.

Лучшая (оптимальная) стратегия игрока заключается в выборе такого варианта хода (из своих возможных), при котором будет получен максимальный выигрыш при отсутствии информации о ходе противника. Определение оптимальных стратегий для игроков составляет решение игры.

Игрок следует чистой стратегии в повторяющихся партиях, если в каждой партии он выбирает из всех альтернатив одну и ту же, использование комбинаций чистых стратегий называется смешанной стратегией. Для решения игры будем использовать критерий минимакса – максимина. Этот критерий предписывает игроку А выбирать такую стратегию (чистую или смешанную), которая максимизирует его минимальный выигрыш, причем минимум берется по всем стратегиям игрока В. Игрок В в свою очередь выбирает стратегию, которая минимизирует его максимальный проигрыш, где максимум берется по стратегиям игрока А.

Рассмотрим применение данного критерия на примере.

Игрок В

Пусть задана платежная матрица, определяющая выигрыш –2 –4

игрока А. Если игрок А выбирает первую стратегию, его А= –1 3

выигрыш будет не меньше miní–2, –4ý= –4 независимо 1 2

от поведения игрока В. При выборе игроком А второй стратегии гарантированный выигрыш будет равен miní–1, 3ý= –1, и, наконец, если он выберет третью стратегию, гарантированный выигрыш будет равен miní1,2ý= 1. Тогда игрок А, выбирая третью стратегию, максимизирует свой минимальный выигрыш. Его значение равно mахí–4, –1, 1ý=1. Выбранная игроком А стратегия называется максиминной стратегией, а соответствующее ей значение выигрыша – максиминным (нижним) значением игры.

Игрок В хочет минимизировать свой проигрыш. Выбрав первую стратегию, он может проиграть не более чем mахí–2, –1, 1ý=1 независимо от выбора своего противника. При второй стратегии проигрыш составит не более mахí–4, 3, 2ý=3. Игрок В выберет тогда первую стратегию, для которой проигрыш составит miní1, 3ý=1. Эта стратегия называется минимаксной, а соответствующее ей значение проигрыша игрока В – минимаксным (верхним) значением игры.

Если нижнее значение игры совпадает с верхним значением игры, то имеет место ситуация равновесия, в этом случае задача имеет решение в чистых стратегиях, в противном случае необходимо искать оптимальную смешанную стратегию.

Рассмотрим еще несколько примеров матричных игр:

1. "Орлянка". Два игрока одновременно кладут на стол по монете "орлом" или "решеткой" вверх. Если "картинки" совпадут, то выигрывает первый игрок, в противном случае второй. Если в каждой отдельной партии разыгрывается некоторая единичная ставка, то матрица данной игры примет вид:

A= .

2. "Камень, мешок, ножницы". Это одна из древнейших тюремных игр, в которую было принято играть на пальцах. Количество выброшенных пальцев от одного до трех соответствовало выбранному предмету, при этом камень побеждал ножницы, мешок–камень и ножницы – мешок. Если игроками выбирались одинаковые предметы, то результат партии признавался ничейным. Матрица выигрышей этой игры имеет следующий вид:

A= .

3. Не заботясь о содержательном смысле игры, просто напишем некоторую, специальным образом построенную матрицу выигрышей

A= .

Если в первых двух играх ситуации равновесия не существуют, так как нижнее значение игры равно -1, а верхнее значение игры равно 1, то в третьем примере

maxmin{a_ij}=max{-2,-2,2,-2}=2 и minmax{a_ij}=min{4,2,3}=2,

т.е. существует ситуация равновесия. Следовательно, значением этой игры будет 2, а оптимальными стратегиями для первого игрока выбор третьей строки и для второго – второго столбца матрицы игры.

Отметим, что матричная игра, для которой существует ситуация равновесия, малоинтересна (и редко случается на практике), так как рациональные действия игроков в ней однозначно предопределены. Если разыгрывается несколько партий такой игры, то каждый раз исход игры будет неизменным. Если же разыгрывается несколько партий в "орлянку", то ни один из игроков не рискнет сохранять неизменной выбираемую стратегию, так как подобные действия легко "расшифровываются" противником. Возможность изменять от партии к партии свои стратегии и составляют суть любой игры, делают ее исход непредсказуемым. Однако в этом случае возникает проблема определения решения игры.

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 202; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!