ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

Date: 2015-10-07; view: 548.

ЕВКЛИДОВО пространство - пространство, свойства которого изучаются в евклидовой геометрии. В более широком понимании евклидовым пространством называется n-мерное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение.

В математике термин евкли́дово простра́нство может обозначать один из двух сходных объектов:

1. Конечномерное вещественное векторное пространство с введённой на нём нормой

где . Также называется конечномерным гильбертовым пространством

2. Метрическое пространство, которое является конечномерным векторным пространством над поле мвещественных чисел с метрикой, введённой по формуле:

где и

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства размерности n = 1 (вещественная прямая) и размерности n = 2 (комплексная плоскость или евклидова плоскость).

Определение 18.5 Вещественное линейное пространство, в котором задано скалярное произведение называется евклидовымпространством.

В трехмерном пространстве модуль вектора равен корню квадратному из скалярного произведения вектора на себя . В евклидовом пространстве модуль вектора определим аналогично

то есть

В трехмерном пространстве с помощью склярного произведения определялся угол между векторами. В евклидовом пространстве тоже можно определить угол между векторами. Но угол в -мерном пространстве не имеет существенного значения, кроме одного случая. В трехмерном проcтранстве два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Определение 18.6 Два вектора евклидова пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Пример 18.5 Пусть , их координатные столбцы , . Проверьте, являются ли векторы ортогональными.

Решение. Находим скалярное произведение

Следовательно, векторы ортогональны.

Так как базисные векторы имеют координатные

столбцы , , ..., , то несложно проверить, что в ортонормированном базисе , а при , то есть векторы базиса попарно ортогональны.

Если -- комплексное линейное -мерное пространство, то в нем тоже можно ввести скалярное произведение, задав его формулой

где черта над означает комплексное сопряжение.

Определение 18.7 Комплексное линейное пространство, в котором введено скалярное произведение, называется унитарнымпространством.

В унитарном пространстве модуль вектора и условие ортогональности вводятся с помощью скалярного произведения так же, как в евклидовом пространстве. В координатной записи

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:

· размерности (вещественная прямая)

· размерности (евклидова плоскость)

· размерности (евклидово трехмерное пространство)

· Евклидово пространство можно считать современной интерпретацией и обобщением (так как оно допускает размерности больше трех) классической (Евклидовой) геометрии.

Более абстрактный пример:

· пространство вещественных многочленов степени, не превосходящей , со скалярным произведением, определенным как интеграл произведения по конечному отрезку (или по всей прямой, но с быстро спадающей весовой функцией, например )