Свойства определителей

Date: 2015-10-07; view: 401.

1. Определитель не меняется при транспонировании.

2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

3. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет знак.

4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число k, то сам определитель умножится на k.

6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

7. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых a_{i j} = b_j + c_j (j= ), то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме i-ой, - такие же, как в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов b_j, в другом - из элементов c_j.

8. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк взять столбцы.

Минором M_ij элемента a_ij определителя n-го порядка называется определитель порядка n-1, который получается из вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.

Алгебраическим дополнением элемента a_ij определителя называется его минор M_ij, взятый со знаком (-1) ^{i + j}. Алгебраическое дополнение элемента a_ij будем обозначать A_ij. Таким образом, A_ij = (-1) ^{i + j} M_ij.

На практике определители удобно находить, используя теорему о разложении определителя по строке или столбцу:

Теорема (разложение определителя по строке или столбцу).

Определитель равен сумме произведений всех элементов его произвольной строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение определителя d по элементам i-й строки

= a_{i 1} A_{i 1} + a_{i 2} A_{i 2} +... + a_{i n} A_{i n} (i = )

или j- го столбца

= a_{1 j} A_{1 j} + a_{2 j} A_{2 j} +... + a_{n j} A_{n j} (j = ).

В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.

В дальнейшем i -ую строку определителя или матрицы будем обозначать S_i, а j-ый столбец - С_j.