Примеры решения задач

Date: 2015-10-07; view: 624.

Пример 1. Для данного определителя :

1) найти миноры и алгебраические дополнения элементов a₁₂ и a₃₂.

2) Вычислить определитель : а) разложив его по элементам 1-ой строки; б) разложив его по элементам 2-го столбца; в) получив предварительно нули в 1-ой строке.

=

Решение:

1). Находим миноры к элементам a₁₂ и a₃₂ по правилу треугольников:

M₁₂ = = -8-16+6+12+4-16=-18,

M₃₂ = =-12+12=12-8=-20.

Алгебраические дополнения элементов a₁₂ и a₃₂ соответственно равны:

A₁₂ =(-1)¹⁺² M₁₂ –(-18)=18,

A₃₂ =(-1)³⁺² M₃₂ –(-20)=20,

2) а). Вычислим определитель, разложив его по элементам первой строки:

= a_{1 1} A_11j + a₁₂ A₁₂ + a₁₃ A₁₃ + a₁₄ A₁₄ =-3 - 2 + 1 - +0 -= -3(8 + 2 + 4 – 4) - -2(-8 – 16 + 6 + 12 +4 + 16) + (16 – 12 – 4 + 32) = 38.

б) Вычислим определитель, разложив его по элементам второго столбца:

= a_{2 1} A₂₁ + a₂₂ A₂₂ + a₂₃ A₂₃ + a₂₄ A₂₄ =-2 - 2 +

+0 +1 = -2(-8 + 6 - 16 +12 +4 - 16) – 2(12+ 6 – 6 – 16) + (-6 + 16 - - 12 – 4)=38.

в) Вычислим определитель , получив предварительно нули в первой строке. Используем свойство определителей: определитель не изменится, если ко всем элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же произвольное число. Умножим третий столбец определителя на 3 и прибавим к первому (3C₃⁺C₁).Полученный столбец запишем вместо первого. Затем третий столбец умножим на (-2) и прибавим ко второму (-2C₃⁺C₂.), и полученный столбец запишем вместо второго. Тогда в первой строке все элементы, кроме одного, будут нулями. Разложим полученный таким образом определитель по элементам первой строки и вычислим его:

= = = = 1* .= = = = -(-56+18)=38

Пример 2.Не вычисляя определителя , показать, что он равен нулю.

Решение. Вычтем из второй строки первую, получим определитель , равный исходному. Если из третьей строки также вычесть первую, то получится определитель , в котором две строки пропорциональны. Такой определитель равен нулю.

Пример 3. Вычислить определитель D =

а) разложив его по элементам второго столбца,

б) по правилу треугольников.