Матрицы одинакового размера считаются равными, если их соответствующие элементы равны.

Date: 2015-10-07; view: 454.

Матрица, все элементы которой нули, называется нулевой матрицей.

Произведением матрицыA = (a_ij) на число a называется матрица aА=(aa_ij), все элементы которой умножены на число a.

Суммой двух матриц одинаковых размеров А=(a_ij)_m´n, B=(b_ij)_m´n, называется матрица С = А+В = (a_ij+b_ij)_m´n тех же размеров, элементы которой равны суммам соответствующих элементов данных матриц.

Разность матриц А–В определяется равенством А–В=А+(-1)В.

Легко видеть, что справедливы соотношения:

1. a(А+В) = aА+aВ, 2. (a+β)А = aА+βА,

3. (a×β)А = a× (βА), где А, В – матрицы одного размера, a, β – числа.

Получаем следующий факт: совокупность матриц одного размера {A_m´n} есть линейное (векторное) пространство, обозначим его L_A ≡ L_Am´n = {A_m´n}.

Пример 1. Пусть: ,

тогда A+2B=

При m=n матрица A_n´n≡A_(n) называется квадратной порядка n.

Квадратную матрицу D = , где d_i числа не все равные нулю, называют диагональной. Если d₁=d₂= … =d_n=1, то матрицу называют единичной и обозначают Е.

Произведением двух матриц специального размера A_m´r×B_r´n называется матрица C_m´n, у которой элемент c_ij, стоящий на пересечении i–ой строки и j-го столбца, равен скалярному произведению i-ой строки матрицы А на j-й столбец матрицы В: C_m´n = A_m´r×B_rх×n ,

c_ij = × = a_i1b_1j+a_i2b_2j+…+a_irb_rj

(i=1, 2, … m; j=1, 2, …, n).

Замечание 1. Операция умножения АВ двух матриц выполнима лишь в том случае, когда число столбцов первой матрицы А равно числу строк второй матрицы В.

Замечание 2. Умножение АВ выполнимо всегда, если матрицы квадратные одного порядка. Причем даже в этом случае может быть АВ ≠ ВА. Если АВ=ВА, то матрицы А и В называются перестановочными (коммутирующими). Естественно определяются степени матриц: A² = A×A, A³ = A×A×A = A²×A.