ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ

Date: 2015-10-07; view: 475.

Можно показать, что любое уравнение первой степени относительно декартовых координат x, y, z представляет собой уравнение некоторой плоскости. Это уравнение записывается в виде:

Ax+By+Cz+D=0

и называется общим уравнением плоскости, причём координаты A, B, C здесь являются координатами нормального вектора плоскости.

Рассмотрим частные случаи общего уравнения. Выясним, как располагается плоскость относительно системы координат, если один или несколько коэффициентов уравнения обращаются в ноль.

Свободный член равен нулю D= 0. В этом случае уравнение плоскости принимает видAx+Cy+Bz=0. Т.к. числа x=0, y=0, z=0 удовлетворяют уравнению плоскости, то она проходит через начало координат. Один из коэффициентов при текущих координатах равен нулю. Пусть например A =0. В этом случае уравнение плоскости имеет вид By+Cz+D=0. Нормальный вектор плоскости имеет координаты и перпендикулярен оси Ox. Следовательно, плоскость параллельна оси Ox. Аналогично, если B= 0, то плоскость параллельна оси Oy и C= 0 – плоскость параллельна оси Oz. Т.о., если в уравнении плоскости один из коэффициентов при текущей координате равен нулю, то плоскость параллельна соответствующей координатной оси. Коэффициент при текущей координате и свободный член равны нулю. Например, A = D = 0. В этом случае уравнению By + Cz = 0 соответствует плоскость, проходящая через начало координат (согласно п.1). Кроме того, учитывая п.2, данная плоскость должна быть параллельна оси Ox. Следовательно, плоскость проходит через ось Ox. Аналогично, при B=D=0 плоскость Ax+Cz=0 проходит через ось Oy. При C=D=0 плоскость проходит через ось Oz. Два коэффициента при текущих координатах раны нулю. Пусть, например, A=B=0. Тогда плоскость Cz+D=0 в силу п.2 будет параллельна осям Oxи Oy, а следовательно параллельна координатной плоскости xOy, и проходит через точку с координатой . Аналогично, уравнениям Ax+D=0 и By+D=0 соответствуют плоскости, параллельные координатным плоскостям yOzи xOz. Два коэффициента при текущих координатах и свободный член равны нулю. Пусть, например, A=B=D=0. Тогда уравнение плоскости имеет вид Cz=0 или z=0. Эта плоскость проходит через начало координат и параллельна осям Ox и Oy, т. е. уравнение определяет координатнуюплоскость xOy. Аналогично, x=0 – уравнение координатной плоскости yOz и y=0 – плоскость xOz.