Неравенство Коши-Буняковского. Угол между векторами и длина вектора.

Date: 2015-10-07; view: 492.

1) Пусть a, b ϵR и a≠ Ѳ, b≠ Ѳ.Для любого числа х ϵR справедливо: (a+x*b) (a*x+b)≥0. Тогда a²+2xab+x²b²≥0 или х²b²+2xab+а²≥0-квадратичное нерав-во, кот. справедливо для любого х ϵR. Отсюда получаем, что дискриминант этого нерав-ва ≤0. Значит (2ab)²-4a²b² ≤0 или 4(ab)²-4a²b², значит (ab)² ≤ a²b².Последнее неравенство назыв. нерав-во Каши-Бунековского. Заметим, что это неравенство справедливо в случае a= Ѳ или b= Ѳ.2) Пусть а ϵRn, т.к а*а≥0, то существует арифметич. корень . Число назыв. длиной вектора а и обозн. ׀а׀. ׀а׀= ² Пусть а,b ϵRn и a≠ Ѳ, b≠ Ѳ, по нерав-ву К-Б получаем (ab)² ≤ a²b², отсюда (ab)²/ а²b²≤ 1 или -1≤ab/ ²* ²≤1. Получаем -1 ≤ab/׀a׀*׀b׀≤ 1. Величину arcсos ab/׀a׀*׀b׀ назыв. углом между векторами а и b и обозн. (a^b): 1. (a^b) ϵ[0, 180] 2. cos (a^b)=ab/׀a׀*׀b׀ 3. a*b=׀a׀*׀b׀* cos (a^b)

10. Ортонормированный и ортогональный базисы пространства. Выражение скалярного произведения векторов через их координаты в ортонормированном базисе.Пусть e1, e2,…,es–базис системы векторов М.Базис e1, e2,…,es –ортогональный; если скалярное произведение ei*ej=0, для всех i и j-1,…,s и i≠j. Говорят, векторы базиса ортонормированными, если:1. ei*ej=0, для всех i и j-1,…,s и i≠j. 2. ׀ ei׀=1, для любого i-1,…,s (говорят, что векторы базиса-нормированы).Если a*b=0 для a, b ϵRn, то (a^b)=90 и при этом пишут, что вектор a перпендикулярен b.Как выглядит скалярное произведение векторов в ортогональном базисе: Пусть e1, e2,…,en-базис пространства Rn, кот. явл. ортонормированным. Пусть a, b ϵRn. Тогда a=α1e1+ α2e2+…+ αnen и b= β1e1+ β 2e2+…+ βnen. Вычисляем: a*b = (α1e1+ α2e2+…+ αnen)(β1e1+ β 2e2+…+ βnen)=…= (α1β1)e1e1+ (α2β2)e2e2+…+ +(αnβn)enen= α1β1 + α2β2 +…+ αnβn. ei*ej=0

16.Обратная матрица. Использование эквивалентных преобразований для нахождения обратной матрицы 1 0 … 0

0 1 … 0

0 0 … 1 _мхn

Матрица назыв. единичной и обозн. Е. Пусть А, В, Е ϵ Мn (R). Тогда справедливо А*Е=Е*А=А Матрица В назыв. обратной к матрице А, если А*В = В*А = Е. При этом пишут В=А^-1. Если для матрицы А сущ. обратная матрица, то матрицу А назыв. обратимой. Теорема: Пусть А ϵ Мn (R). Матрица А явл. обратимой тогда и только тогда, когда определитель матрицы А≠0. (׀А׀≠0) Способы вычисления обратной матрицы: 1) С помощью присоединения матрицы. Пусть А ϵ Мn (R) матрица вида:

А11 А12 … А1n

А21 А22 … А2n

...

Аn1 Аn2 … Аnn

где Aij- алгебр. доп-е к элем. матрицы А для всех i, j=1, …, n - назыв. присоединенной и обозн. А* Теорема: Пусть А ϵ Мn (R) и обратима. Тогда, А^-1= 1/׀А׀ х (А*)^Т 2) С помощью элементарных преобразований (метод черты). 1. перемена 2-х строк местами 2. умнож. строки на не нулевое число 3. прибавление одной строки к др., умножение на число. Пусть А ϵ Мn (R). Рассм. матрицу, кот. получается «склеиванием» матрицы А с Е, принадлежащей тому же мн-ву (Мn (R)), кот. обозн.: (А׀Е) Теорема: Если матрица А обратима, то с помощью элементарных преобр. матрицу (А׀Е) можно привести к матрице (Е׀А^-1). Т.к слева от черты нах-ся един. матрица, то справа от черты – обратная к А.