Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Канонический вид.

Date: 2015-10-07; view: 413.

Свойства определителя

1. При замене строк столбцами (транспонировании) значение определителя не изменится ׀А^Т׀=׀А׀ 2. Если хотя бы один ряд (строка или столбец) состоит из нулей, то определитель равен нулю 3. Если в определителе поменять местами два соседних параллельных ряда (строки или столбцы), то определитель поменяет знак на противоположный 4. Если в определителе имеются два одинаковых параллельных ряда, то определитель равен нулю 5. верно равенство:

а11 а12 … а1n

0 а22 … а2n = а11 а22 а33 … аnn

0 0… а3n

0 0… 0

20.Формулы Крамера для решения квадратной СЛУ. Присоединённая матрица и её связь с обратной матрицей. Пусть дана СЛУ:

а11х1+ а12х2+…+а1nxn=b1

а21х1+ а22х2+…+а2nxn=b2

…

аn1х1+ аn2х2+…+аnnxn=bn

Введем обозн.

а11 а12 … а1n

▲= а21 а22 … а2n

…

аn1 аn2 … аnn

▲xi- определитель, полученный из определителя ▲ путем замены i-го столбца на столбец b1 b2 …

bn, здесь i=1, …, n. Тогда, если ▲≠0, то

х1=▲х1/▲; х2 =▲х2/▲; …; хn =▲хn/▲.

Данные равенства наз-ся формулами Крамера для решения СЛУ.

Матрица вида

а11 а12 а1n

а21 а22 а2n

…

аm1 аm2 аmn

назыв. матрицей квадратичной формы. Т.к в матрице аij=aji для всех i, j=1, …, n, то матрицу А назыв. симметрической. Тогда: А^Т=А. Если ׀А׀≠0, то квадратичную форму f (х1, х2, …, хn) назыв. невырожденной, а в противном случае-вырожденной. Пусть квадратная форма f (х1, х2, …, хn) задается матрицей А. Рассм. матрицу Х=(х1, х2, …, хn). Тогда квадратичную форму можно задать в матричном виде: f(х1, х2, …, хn) = X*A*X^T. Пусть f (х1, х2, …, хn)- квадратичная форма. Если в записи формы f все коэф. aij=0 для i≠j, I, j=1,…,n, то в этом случае, говорят, что форма имеет канонический вид: f (х1, х2, …, хn) = a11x²1+a22x²2+…+annx²n. Теорема: Любую квадратичную форму с помощью линейного преобразования можно привести к каноническому виду. Др. словами, заменяя переменные х1, х2, …,хn на новые переменные, получаем канонический вид формы. Способы приведения квадрат. формы к каноническому виду: 1) выделение полных квадратов: f (х1, х2) = =х²1+2х1х2+х²2; последнее сворачивается (х1+х2)². Сделаем замены переменных: у1=х1+х2, у2=х2. Тогда вид такой: f=f(y1;y2)=y²1-канонический вид формы f. Если в записи формы f все коэф. aij=0, где i=1, …, n, то вначале нужно сделать замены переменных: x1=u1-u2, x2=u1+u2, x3=u3,…,xn=un. При этом в записи формы f появятся квадраты переменных, далее можно применять метод выделения полу квадратов. 2) ортогональное отображение: в этом случае квадратичная форма f приводится к след. виду: f (х1, х2, …, хn) = =λ1у²1+λ2у²2+…+λny²n, где λ1, λ2, …, λn - собственные числа линейного отображения с матрицей А. Линейное отображение назыв. ортогональным, если оно сохраняет длины векторов. 3) использование главных угловых миноров матрицы

Среди всех квадрат-х форм выделяют положительно-определенные: квадрат-я форма f (х1, х2, …, хn) назыв. положительно-определенной, если для любого набора переменных х1, х2, …, хn≠Ѳ справедливо: f (х1, х2, …, хn)>0.