Матричные уравнения

Date: 2015-10-07; view: 473.

Выпишем отдельно найденные переменные Х

Метод Крамера

Решить систему уравнений методом Крамера:

Запишем систему в виде:

B^T = (1,3,-3)

Главный определитель:

∆ = 2 • (7 • 2-2 • 4)-3 • (3 • 2-2 • 1)+1 • (3 • 4-7 • 1) = 5 = 5

Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

Найдем определитель полученной матрицы.

∆₁ = 1 • (7 • 2-2 • 4)-3 • (3 • 2-2 • 1)+(-3 • (3 • 4-7 • 1)) = -21

Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

Найдем определитель полученной матрицы.

∆₂ = 2 • (3 • 2-(-3 • 4))-3 • (1 • 2-(-3 • 1))+1 • (1 • 4-3 • 1) = 22

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

Найдем определитель полученной матрицы.

∆₃ = 2 • (7 • (-3)-2 • 3)-3 • (3 • (-3)-2 • 1)+1 • (3 • 3-7 • 1) = -19

Проверка.

2•-4.2+3•4.4+1•-3.8 = 1

3•-4.2+7•4.4+4•-3.8 = 3

1•-4.2+2•4.4+2•-3.8 = -3

Решить матричное уравнение, вычисляя обратную матрицу, сделать проверку.

Решим задачу через нахождение обратной матрицы (уравнение имеет вид: А^.Х = В, тогда Х = В ^. А^-1).

Определим обратную матрицу А^-1:

Запишем матрицу в виде:

Главный определитель

∆=1•(1•(-1)-2•2)-2•(2•(-1)-2•1)+1•(2•2-1•1)=6

Транспонированная матрица.

Алгебраические дополнения.

∆_1,1=(1•(-1)-2•2)=-5

∆_1,2=-(2•(-1)-1•2)=4

∆_1,3=(2•2-1•1)=3

∆_2,1=-(2•(-1)-2•1)=4

∆_2,2=(1•(-1)-1•1)=-2

∆_2,3=-(1•2-1•2)=0

∆_3,1=(2•2-1•1)=3

∆_3,2=-(1•2-2•1)=0

∆_3,3=(1•1-2•2)=-3

Обратная матрица.

Проверим правильность нахождения обратной матрицы путем умножения исходной матрицы на обратную. Должны получить единичную матрицу E.

E=A*A^-1=

, следовательно

Определим Х:

Х = В ^. А^-1 =

Матрицу Х ищем по формуле: X = A^-1·B

=

Сделаем проверку:

Следовательно, уравнение решено верно.