Смешанное произведение трех векторов

Date: 2015-10-07; view: 434.

Пусть даны три вектора . Вектор умножается векторно на , полученное векторное произведение умножим скалярно на , в результате получим число, которое называют векторно-скалярным или смешанным произведением трех векторов .

Определение 5.8.1. Смешанным произведением векторов называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор : , или или .

Геометрический смыл смешанного произведения

Теорема 5.8.1. Смешанное произведение трех некомланарных векторов , равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком плюс, если тройка ( ) правая, и со знаком минус, если эта тройка — левая.

Доказательство: Сначала рассмотрим случай, когда вектора лежат на одной прямой. В этом случае , значит и . Если же вектора не лежат на одной прямой и вектор лежит в плоскости, определенной векторами , то вектор ортоганален вектору и, следовательно, . Пусть вектора не лежат в одной плоскости и образуют правую тройку. На векторах, как на ребрах, построим параллелепипед.

По определению скалярного произведения

S- площадь основания OBDA, H– высота параллелепипеда.

Если то и

Окончательно: или

Рис.5.8.