Свойства смешанного произведения

Date: 2015-10-07; view: 418.

1) Для того чтобы вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

Рис.5.9.

2) Для любых векторов

или

Смешанное произведение не изменяется при круговой перестановке векторов и и меняет свой знак при других перестановках

Рис.5.10.

Правило проще запомнить с помощью рисунков 5.10.

3) Смешанное произведение дистрибутивно:

.

4) Ассоциативно относительно умножения на число

, , .

5) Смешанное произведение в координатной форме

Пусть даны вектора в разложении по базису , ,

.

Отсюда следует условие компланарности векторов в координатной форме: .

Пример5.9.1. Показать что векторы , , компланарны.

Решение: Составим определитель из координат данных векторов и найдем его значение.

.

Ответ: Вектора компланарны.

Контрольные вопросы и задания.

1. Дайте определение смешанного произведения.

2. Перечислите свойства смешанного произведения.

3. Геометрический смысл смешанного произведения.

4. Запищите условие компланарности трех векторов в координатной форме.

5. Определить какой является тройка ортов прямоугольной декартовой системы координат.

6. Вывести условие принадлежности четырех точек одной плоскости.

7. Доказать компланарность векторов ,зная что