Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными координатной оси

Date: 2015-10-07; view: 496.

Поверхности второго порядка

Поверхностью второго порядка называется множество точек пространства, которое в декартовой системе координат задается уравнением второй степени.

Определение 8.1.1. Цилиндрической поверхностью называется множество параллельных прямых, пересекающих данную линию.

Эта линия называется направляющей, а параллельные прямые - образующими цилиндрической поверхности.

Будем рассматривать в дальнейшем только такие цилиндрические поверхности, направляющие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а образующие параллельны координатной оси, перпендикулярной этой области.

Рассмотрим цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz, и направляющей l, лежащей в плоскости Oxy.

Направляющая l задается, очевидно, на плоскости уравнением: F(x,y) = 0, в пространстве системой уравнений:

(8.1.)

(Уравнение (8.1.) задают эту линию как пересечение цилиндрической поверхности и координатной плоскости XOY).

Докажем теперь, что цилиндрическая поверхность имеет уравнение F(x,y) = 0 (8.2.)

Д-но, пусть M(x,y,z) - произвольная точка поверхности, тогда проекция точки М на плоскость XOY - точка М` - имеет координаты (x,y,0) и лежит на направляющей l. Поэтому координаты т. М удовлетворяют уравнению (2) (т.к. оно не содержит z).

Далее, если N(x`,y`,0) S (поверхности), то её проекция на плоскость - точка N`(x`,y`,0) - не принадлежит l и, следовательно F(x,y) 0.

Следовательно, уравнение F(x,y) = 0, не содержащее z, определяет в пространстве цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz и направляющей, которая в плоскости Oxy имеет то же самое уравнение F(x,y) = 0.

Рис.8.1.

Аналогично устанавливается, что цилиндрические поверхности с образующими, параллельными оси Ox или Oy, задаются соответственно уравнениями F(y,z) = 0 или F(x,z) = 0.