Линейная Алгебра

Date: 2015-10-07; view: 417.

Манилов Александр Николаевич

Литература:

«Высшая математика в упражнениях и задачах»

Данко, Попов, Кожевников

«Конспект лекций по высшей математике»

Д. Письменный

«Высшая математика для экономистов»

Кремер

Определителем называется число, записанное в виде таблицы чисел, имеющей «n» строк и «n» столбцов.

Число «n» определяет порядок определителя.

Определитель «n» порядка в общем виде может быть записан как:

a_11 a12 … a1n

a_21 a22 … a2n

…

a_n1 an2 … ann

_____________________________________________________________________________

Минором данного элемента определителя n-ого порядка, называется определитель N-1 порядка, полученный из исходного определителя, путём вычёркивания из строки и столбца, содержащих данный элемент.

_____________________________________________________________________________

Алгебраическим дополнением элемента «aij» называется его минор, умноженный на (-1)к, где К это сумма номера строки и номера столбца, содержащих данный элемент.

_____________________________________________________________________________

Теорема о разложении определителя по элементам ряда(строка, столбец).

Определитель n-ого порядка равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Теорема позволяет вычислять определители четвёртого и более порядков.

_____________________________________________________________________________

Свойства определителя:

I) Определитель не изменится, если строки определителя заменить столбцами, а столбцы соответствующими строками.

II) Общий множитель элементов какой-либо строки или столбца, можно вынести за знак определителя.

III) При перестановке любых двух строк(столбцов), определитель меняет свой знак на противоположный.

IV) Если элементы одного ряда определителя соответственно равны элементам параллельного ряда определителя, то определитель равен 0.

V) Если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится.

Следствия из свойств.

1. Если элементы одного ряда определителя пропорциональны соответствующим элементам другого ряда, то определитель равен 0.

2. Если все элементы какого-либо ряда определителя равны нулю, то определитель равен 0.

3. Если все элементы определителя, стоящие ниже главных диагоналей равны нулю, то определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

«»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»

Матрица – это таблица чисел, имеющая m строк и n столбцов.

aij – это элемент матрицы, где i номер строки, а j номер столбца.

Матрица имеющая одинаковое число строк и столбцов называется квадратной, в противном случае – прямоугольной.

Матрица у которой элементы, стоящие на главной диагонали равны 1, а остальные равны 0, называется единичной и обозначается большой буквой – E.

Квадратная матрица у которой элементы расположенные симметрично относительно главной диагонали равны между собой – называется симметрической.

Матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали отличны от нуля, а элементы стоящие ниже главной диагонали, равны нулю – называется ступенчатой.

Если прямоугольная матрица имеет ступенчатый вид, то она называется трапецевидной.

Если квадратная матрица имеет ступенчатый вид, то она называется треугольной.

Действия с матрицами:

1. Сложение матриц – суммой двух матриц a и b называется матрицей c, все элементы, полученные путём сложения соответствующих элементов матриц a и b.

2. Умножение матрицы на число – произведение числа a у числа (лямбда) называется матрицы b, все элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы a на число (лямбда).

3. Умножение матриц – произведением двух матриц a и b называется матрица с, у которой элемент, стоящий в i-той строки и j-том столбце равен сумме произведений соответствующих элементов i-той строки матрицы A и j-того столбца матрицы B.

Нулевой матрицей(0 матрицей) называется матрица все элементы которой равны нулю.

Квадратная матрица A называется невырождённой, если соответствующий ей определитель не равен нулю.

Матрица А^-1 называется обратной по отношению к матрице А, если выполняются следующие равенства:

А*А^-1=А^-1*А=Е

Определитель, составленный из элементов матрицы А, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов называется минором Катого порядка матрицы А.

Рангом матрицы А называется наибольший порядок минора этой матрицы отличного от 0.

Если r(А)=r(В), то матрица А и В называются эквивалентными.

Ранг матрицы не изменяется от элементарных преобразований:

1. Замена строк столбцами, а столбцов соответствующими строками.

2. Перестановка строк матрицы.

3. Вычеркивание строки все элементы которой равны нулю.

4. Умножение какой либо строки на число отличное от 0.

5. Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки.