Линейные операции

Date: 2015-10-07; view: 379.

Равенство матриц
Матрицы A = || a_{i j} || и B = || a_{i j} || считаются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие матричные элементы попарно равны:

(1)

для любых допустимых значений индексов i и j.

К линейным операциям над элементами множества или пространства относятся операции сложения элементов и их умножения на скаляр (число).

Умножение матрицы на число
При умножении матрицы A на число λ (слева или справа) каждый ее матричный элемент умножается на это число:

(2)

Сложение матриц
Операция сложения определена только для матриц одинаковых размеров. Результатом сложения матриц A = || a_{i j} || и B = || b_{i j} || является матрица C = || c_{i j} || , элементы которой равны сумме соответствующих матричных элементов:

(3)

Линейной комбинацией матриц A и B называется выражение вида , где и – числовые коэффициенты.

Пример 1. Матрицы и составлены из одних и тех же элементов, но имеют различные размеры. Следовательно, A ≠ B.

***

Пример 2. Матрицы и составлены из одних и тех же элементов и имеют одинаковые размеры. Однако не все соответствующие матричные элементы попарно равны. Следовательно, C ≠ D.

***

Пример 3. Если , то .

***

Пример 4. Пусть и Тогда

***

Пример 5. Вычислим линейную комбинацию 2A – 3B матриц A и B в условиях предыдущего примера:

***

Пример 6. Матричное уравнение равносильно системе двух линейных уравнений: