Кольцо.

Date: 2015-10-07; view: 487.

Понятие кольца, подкольца, факторкольца, евклидова кольца, идеала в кольце. Примеры.

Количество порождающих элементов.

Структура подгрупп циклической группы.

Циклическая группа.

Понятие циклической группы. Структура подгрупп циклической группы. Количество порождающих элементов.

Теорема Лагранжа.

Примеры

Индекс группы по подгруппе.

Факторгруппа.

{(1) – стр. 52}
Группа смежных классов группы G по нормальному делителю H.

{(1) – стр. 28}
Количество смежных классов группы G по подгруппе H называется индексом подгруппы и обозначается через (G : H).

{(1) – стр. 29}
Пусть H — подгруппа группы G. Тогда порядок H является делителем порядка G: |G| = (G : H) · |H|.

{(1) – стр. 22}
В циклической группе есть такой элемент (он называется порождающим элементом группы), что каждый элемент группы может быть получен (многократным) применением групповой операции к порождающему.

{(1) – стр. 30}
Всякая подгруппа циклической группы — циклическая.

{(2)}
У циклической группы порядка n существует ровно φ(n) порождающих элементов, где φ — функция Эйлера.

{(1) – стр. 85}
Кольцо — это множество R с двумя бинарными операциями сложения + и умножения · такими, что

· R1: относительно сложения R — коммутативная группа (которая называется аддитивной группой кольца);

· R2: умножение ассоциативно; (в других источниках может не быть аксиомой – могут выделяться отдельно ассоциативные кольца)

· R3: a · (b + c) = a · b + a · c; (b + c) · a = b · a + c · a (дистрибутивность умножения относительно сложения слева и справа).

Если в кольце имеется единичный элемент для умножения, то кольцо называется кольцом с единицей. Если умножение коммутативно, то такое кольцо называется коммутативным кольцом.