Определение 2.9.

Date: 2015-10-07; view: 360.

Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов называется скалярное произведение первого вектора на векторное произведение второго вектора на третий и обозначается .

Если векторы заданы своими координатами , ,

их смешанное произведение можно записать через определитель

Модуль смешанного произведения трех векторов , и равен объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на сторонах.

Если известны вершины , и , треугольной пирамиды, то ейё объём можно вычислить по формуле .

Пример №8

Найти объём треугольной пирамиды, построенной на векторах , , .

Решение:

Найдём смешанное произведение данных векторов:

Следовательно, (куб. ед.)

Пример №9

При каком значении векторы , ,

компланарны?

Решение:

Условием компланарности трех векторов является условие равенства нулю смешанного произведения этих векторов, т.к. .

Составим и решим уравнение: .

Вычислим определитель в левой части равенства:

, следовательно, .

Определение 2.10.

Полярными координатами точки называются радиус-вектор ρ - расстояние от точки до заданной точки (полюса) и полярный угол φ - угол между прямой и заданной прямой, проходящей через полюс. Полярный угол считается положительным при отсчете от полярной оси против часовой стрелки и отрицательным при отсчете в обратную сторону. Координатные линии в полярных системах - окружности с центром в полюсе и лучи.

Формулы для перехода от полярных координат к декартовым:

и обратно, ,

Определяя величину , следует определить четверть, в которой лежит точка и учитывать, что .

Пример № 10

Найти полярные координаты точки . В нашем случае имеем , , , .

Точка лежит в первой четверти, следовательно, . Итак, .

Пример № 11

Определить расстояние между точками и .

Решение:

Расстояние между двумя точками с полярными координатами можно найти двумя способами.

I способ: Переведём точки и в прямоугольные координаты.

Точка , , следовательно, ;

, тогда в ДСК точка имеет координаты ,

Соответственно, .

Тогда расстояние

II способ: , подставляя значения , , , ,

Имеем .

Задания:

1. Найти длину вектора и его направляющие косинусы.

2. Векторы и образуют угол , причем . Определить

3. Определить, при каких значениях и векторы коллинеарны.

4. На плоскости даны три вектора . Разложить вектор по векторам .

5. Найти проекцию вектора