Прямая на плоскости

Date: 2015-10-07; view: 360.

Если в системе координат на прямой, перпендикулярной нормальному вектору , задана точка , то выбрав на этой прямой произвольную точку , вектор можно записать через координаты в виде

Используя условие перпендикулярности двух векторов , получаем уравнение (1)

которое носит название уравнения прямой, проходящей через данную точку.

После раскрытия скобок уравнение (1) принимает вид:

(2)

где . Уравнение (2) называется общим уравнением прямой на плоскости.

Если , или

, которое носит название уравнения прямой с угловым коэффициентом, а величина определяет ординату точки пересечения прямой с осью .

Если на плоскости заданы две точки , то уравнение пучка прямых имеет вид: (3)

(4)

Уравнение (4) называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки.

Возьмем точки и подставим в уравнение (4). Получим – уравнение прямой в отрезках на осях. (5)

Если две прямые заданы уравнениями , то тангенс угла между ними вычисляется по формуле

(6)

В случае задания двух прямых общими уравнениями прямых можно выразить косинус одного из смежных углов между ними на основе формулы скалярного произведения двух нормальных векторов :

(7)

Из формулы (7) следует условие перпендикулярности прямых:

, или ,

а из формулы (6) – условие параллельности прямых:

или

Для определения расстояния от точки до прямой, заданной в общем виде, можно использовать формулу .

Задания:

1. Дано общее уравнение прямой . Написать:

а) уравнение с угловым коэффициентом; б) уравнение в отрезках на осях.

2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку и составляющей с осью угол в .

3. Определить расстояние между прямыми

4. Написать уравнение перпендикуляра к прямой , проходящего через точку .