Розв'язування типового варіанта

Date: 2015-10-07; view: 410.

1. По координатах точок , та знайти:

а) модуль вектора ;

б) скалярний добуток векторів та ;

в) проекцію вектора на вектор .

Розв'язання:

а) Послідовно знаходимо , , ,

б) Маємо , . Тоді .

в) Через те що , , то , ,

2. Задані вектори , , .

Необхідно:

а) знайти модуль векторного добутку та ;

б) обчислити мішаний добуток векторів , та ;

в) перевірити, чи є компланарними вектори , та .

Розв'язання:

а) Оскільки , то

б) Через те, що , то

в) Вектори , та є компланарними, якщо .

Обчислюємо , тобто вектори не компланарні.

3. Вершини піраміди знаходяться у точках , , , .

Обчислити:

а) площу грані АВС;

б) площу перерізу, який проходить через середини ребер AB, AC, AD;

в) об'єм піраміди ABCD.

Розв'язання:

а) Відомо, що . Знаходимо: , ,

.

Остаточно маємо: (кв. од.)

б) Середини ребер AB, AC, AD знаходяться відповідно у точках , , .

Знаходимо координати цих точок.

Координати точок та знаходимо аналогічно. , .

Далі маємо: , , .

в) Об'єм піраміди знаходимо за формулою .

, . Таким чином .

4. Довести, що вектори , , утворюють базис, та знайти координати вектора в цьому базисі.

Обчислюємо

Отже, вектори , , утворюють базис та вектор лінійно виражається через базисні вектори:

,

де координати вектора у базисі , , або у координатній формі

Розв'язуємо одержану систему за формулами Крамера. Знаходимо: .

, ,

, ,

тому .