Свойства определителя n-го порядка.

Date: 2015-10-07; view: 453.

Разложение определителя по элементам строки или столбца.

Операции над матрицами.

1. A и В считаются равными, если они имеют одинаковую размерность и соответствующие элементы равны.

2. Для того, чтобы сложить 2 матрицы, достаточно сложить соответствующие элементы.

3. Умножение матрицы на число: В = λA; достаточно умножить на это число все элементы.

4. Умножение матриц: для перемножения А и В надо выполнить следующие условия: длинна а строки матрицы А должна равняться высоте столбца матрицы В; число столбцов А = число строк В; АВ<>ВА; A (m*k) à m/k; B (k*n) à k/n; A*B = mk/kn = m/n; примеры

Определитель матрицы.Вычисляется только для квадратной матрицы. Определитель второго порядка Δ=detA=|a_ij| = a₁₁ a₂₂ – a₁₂ a₂₁; Определитель третьего порядка – число найденной по правилу Саррюса.(Примеры)

Минор и алгебраическое дополнение. Минор –это определитель, полученный вычеркиванием строки или столбца. Базисный минор –любой минор r порядка м-ы А отличный от 0. Минором Мij матрицы A, n*n, называется определитель, полученный вычеркиванием i строки и j столбца из матрицы А. Минор, взятый с определенным знаком называется алгебраическим дополнением элемента.A_ij = (-1) ^(i + j) M_ij

Рассмотрим i-тую строку: Δ= a_i1 A_i1 + a_i2 A_i2 +…+a_in A_in

Рассмотрим j-тый столбец: Δ = a_1j A_1j + a_2j A_2j+…+a_nj A_nj

1. Если все элементы строки или столбца равны нулю, то и Δ= 0;

2. При перестановке 2 строк (столбцов) знак определителя меняется на противоположный.

3. Определитель не изменится, если транспонировать соответствующую матрицу.

4. Общий множитель строки или столбца можно выносить за знак определителя.

5. Если элементы строки или столбца представляют собой сумму слагаемых, то определитель равен сумме Δей, элементами которых в данной строке или столбце являются эти слагаемые.

6. Если две строки или столбца имеют одинаковые элементы, то такой Δ= 0

7. Определитель не изменяется, если к элементам строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на некоторое число k, где k – любое действительное число.(Примеры)

Обратная матрица.Обратная матрица к исходной матрице А называется матрица А^-1, удовлетворяющая условию A*A^{- 1}=A^{- 1}A=E.

ТЕОРЕМА о существовании обратной матрицы.Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно (<=>), чтобы матрица А была невыражденной – detA<>0;

1. необходимые условия. Дано: А, А^-1; Док-ть: detA¹0; Док-во: Предположим detA=0; AA^-1=E; |AA^{- 1}| = |A| |A^-1| = |E| = 1; |AA^{- 1}| =0; Противоречие, значит |A|¹0;

2. достаточные условия: Дано A, detA¹0; Док-ть: A^-1-?; Док-во: AA^-1=E -?;

A(a₁₁, a₁₂…a₃₂, A₃₃); Заменим каждый элемент алгебраическим дополнением. В = (A₁₁, A₁₂…A₃₂, A₃₃)*1/|A|; Транспонируем и разделим все элементы на Δ: B^T= (A₁₁/Δ, A₂₁/Δ…A₂₃/Δ, A₃₃/Δ); B^T=A^-1-?; B^TA=E -?

(a₁₁ a₁₂…a₃₂ a₃₃)*(A₁₁A₁₂…A₃₂ A₃₃)=(a₁₁A₁₁+a₁₂A₁₂+a₁₃A₁₃/Δ)=(1 0..0 1)=E;

a₂₁A₁₁+a₂₂A₁₂+a₂₃A₁₃ = 0; a₁₁A₁₁+a₁₂A₁₂+a₁₃A₁₃=Δ;