Метод обратной матрицы или матричный способ решения СЛАУ.

Date: 2015-10-07; view: 513.

Системы линейных алгебраических уравнений СЛАУ.

(x₁; x₂; x₃;…x_n) – матрица-столбец. A= (a₁₁ a₁₂… a_nn) * B= (b₁; b₂; … b_n); AX=B; {a₁₁ x₁+a₁₂ x₂+…+a_1n x_n = b₁; a₂₁ x₁+a₂₂ x₂+…+a_2n x_n = b₂; a_n1 x₁+a_n2 x₂+…+a_nn x_n = b_n. – ЭТО СЛАУ; Если СЛАУ имеет решение, то она называется совместной. Если это решение единственное, то СЛАУ называется определенной системой. Если СЛАУ имеет множество решений, то она называется неопределенной.Для установки совместности надо вычислить определитель: {a₁₁ x₁…+a₃₃ x₃ = b₃; Находим определитель матрицы А: Δ=|A| =|a₁₁ a₁₂…a₃₂ a₃₃| <> 0; Для совместности <=>, чтобы главный Δ системы не равнялся нулю. x1-?; Столбец коэффициента x1 занимает столбец (b) (своб. член):

Δx₁= |b₁ a₁₂ a₁₃; b₂ a₂₂…; … b₃ a₂₃ a₃₃|; Δx₂=|a₁₁ b₁ a₁₃; a₂₁ b₂ a₂₃; a₃₁ b₃ a₃₃|; Δx₃=|a₁₁ a₁₂ b₁; a₂₁ a₂₂ b₂; a₃₁ a₃₂ b₃|; x₁=Δx₁/Δ; x₂=Δx₂/Δ; x₃=Δx₃/Δ

1) Δ<>0, Δx_i<>0, тогда имеет единичное решение

2) Δ=0, Δx_i= 0, множество решений.

AX=B; |A|<>0 à A^{- 1}; A^{- 1}AX=A^{- 1}B; A^{- 1}A=E; EX=X; X=A^{- 1}B;Пример: вычисляем главный Δ, находим алгебраические дополнения, делим на главный определитель, транспонируем и получаем A^{- 1}; X=A^{- 1}; Отсюда находим матрицу-столбец X. Привести примеры.

Метод Гаусса. Ранг матрицы.Рассмотрим прямоугольную матрицу размерностью n*m: A(рисуй матрицу).Выделим k строк и k столбцов из элементов, находящихся на пересечении этих k строк и k столбцов. Строим Δли k-го порядка (эти Δли называются минорами матрицы k-го порядка и обозначаются Mк). M1 – сами элементы матрицы. Минором k-го порядкаданной матрицы A называется Δ, составленный из элементов матрицы без перестановок после вычеркивания любых k строк и k столбцов.

Минор второго порядка определяется вычеркиванием двух строк и двух столбцов и т.д. 3-го, четвертого и далее (нарисуй!). Рангомданной матрицы A называется наивысший порядок отличного от нуля минора. Обозначается r (A) = r; Практический способ нахождения ранга матрицы:Практический способ сводится к элементарным преобразованиям матрицы.

1. Перестановка 2х строк. 2. вычеркивание нулевой строки или столбца. 3. прибавление к элементам строки или столбца соответсвующих элементов другой строки или столбца, умножение на число λ.

ТЕОРЕМА:Ранг матрицы не изменяется при ее элементарных преобразованиях:A(a₁₁…a_mn);

Выполним преобразования и получим что-то типа: B (b11, b12, b13; 0, b22, b23; 0, 0, b33); Вот как надо преобразовывать число строк матрицы. В дает ранг матрицы А: r (A) = r (B) = число строк В.

Привести пример (надеюсь смогешь сам, товарисчь)

Теорема Кронекера-Копелли.Пусть дана СЛАУ размерностью m*n:

{a₁₁ x₁ +…. = b₁; … = b_m; A(a ij) – i=1до m, j=1до n;

B = (a₁₁ a₁₂ … a_1n | b₁; a₂₁ a₂₂… a_2n | b₂; …; a_m1 a_m2 … a_mn | b_m)

Для того, чтобы СЛАУ была совместной необходимо, чтобы ранг матрицы A равнялся расширенному рангу матрицы В <=> r (A) = r (B);

1) r = n (ранг матрицы равен числу неизвестных) – единственное решение.

2) r < n – множество решений.

Примеры обязательно!

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных).

{a₁₁ x₁ +…=b₁; …; =b_n; С помощью линейных преобразований матрицы А мы приводим ее к треугольному виду и получаем СЛАУ равносильную исходной. Две СЛАУ называются равносильными, если решение второй системы является решением первой системы и наоборот.

(обязательно пример, где СЛАУ и вообщем получаешь лесенку с нулями внизу, потом с помощью этого находишь иксы).

Система линейных однородных уравнений. СЛОУ с нулевыми свободными членами. AX= 0;

{a₁₁ x₁+a₁₂ x₂+…+a_1n x_n= 0; … ; …+a_mn x_n = 0; - это СЛОУ.

r (A) = r (B) – эта система всегда совместна. X1=X2=…Xn=0 – общее решение. ТЕОРЕМА: для того, чтобы СЛОУ имела не нулевое решение <=>, чтобы ранг системы был меньше числа неизвестных.

Если имеем квадратную систему, то m = n; Δ=|A|= 0; Для существования ненулевого решения <=>, чтобы Δ= 0; r < n, m < n – множество решений.(Примеры)