Матричный метод.

Date: 2015-10-07; view: 425.

Систему уравнений можно записать в матричной форме : А·X=B, тогда X=A^-1´B ,где А^-1 – обратная матрица.

При этом выполняются следующие правила умножения матриц:

Если А=(a_ij)_m´n – матрица из m строк и n столбцов, B=(b_ik)_n´p – матрица из n строк и p столбцов, тогда: A´B=C=(c_ik)_m´p– матрица из m строк и p столбцов. У матрицы A количество столбцов должно быть равно количеству строк матрицы B. Элементы результирующей матрицы определяются:

; i = 1,2,¼,m ; j = 1,2,¼,p

Пример :

A = 4 -1 B = 1 2 3 A´B = 0 3 6

5 -2 4 5 6 -3 0 3

Если А, В – квадратные матрицы, то выполняется свойство:

А´В=(В´А)^Т , где (В´А)^Т – транспонированная матрица (строки меняются местами со столбцами ).

Е – единичная матрица ( все элементы матрицы равны нулю за исключением лежащих на главной диагонали, которые равны единице).

А^-1´А=Е, где А^-1 – обратная матрица.

Методы получения обратной матрицы :

1.Метод решения систем уравнений.

a_k1·x₁ + a_k2·x₂ + ¼ + a_kn·x_n = 0 , k ¹ i

1 , k =i k = 1, 2, ¼ , n

Таким образом получаем n уравнений.

2. Прямой метод.

A₁₁ A₂₁ ¼ A_n1

|A| |A| |A|

A₁₂ A₂₂ ¼ A_n2

|A| |A| |A|

¼¼¼¼¼¼¼¼¼

A_1n A_2n ¼ A_nn

|A| |A| |A|

3.Метод элементарных преобразований.

Добавляем в расширенную часть единичную матрицу. Над основной и расширенной частями матрицы выполняется последовательность одинаковых линейных преобразований с тем, чтобы привести исходную матрицу к виду единичной матрицы. Тогда в результате расширенная часть будет содержать матрицу обратную к исходной.

Пример : А = 1 3 ;

4 5

1 3 1 0 1 3 1 0 7/3 0 -5/3 1 1 0 -5/7 3/7

4 5 0 1 0 -7 -4 1 0 -7 -4 1 0 1 4/7 -1/7

A^-1 = -5/7 3/7

4/7 -1/7