Классический метод

Date: 2015-10-07; view: 401.

Методы решения дифференциальных уравнений

Применяется к группе ЭМ с взаимно-неподвижными осями обмоток: МПТ, трансформаторы, коллекторные машины переменного тока.

Пример : рассмотрим переходный процесс включения ненагруженного трансформатора в сеть.

Так как вторичная обмотка трансформатора разомкнута, то процесс совпадает с включением индуктивной катушки в сеть переменного тока.

Уравнение баланса напряжений первичной обмотки

u₁=-e₁+i₁R₁=U_m1·sin(wt+j_u); где e₁=–L₁·di₁/dt.

L₁·di₁/dt+R₁i₁=U_m1·sin(w₁t+j_u) – представляет собой неоднородное дифференциальное уравнение, решение которого имеет две составляющие:

i₁=i_1св+i_1в ( или иначе i₁ = i_1пер + i_1уст )

Определим i_cв как общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения:

L₁·di₁/dt+R₁i₁=0 – уравнение с разделяющимися переменными;

(L₁/R₁)·(di₁ /dt)=–i₁; (L₁/R₁)·(di₁ /i₁)=–dt;

Обозначим t₁=L₁/R₁ – постоянная времени, тогда t₁·lni₁=–t+ c или после потенцирования

i₁=exp(–t/t+c'). Или иначе i₁ = A·e ^-t/t , где A = e^c'.

Определим i_1в как частное решение неоднородного дифференциального уравнения (обычно определяется путём расчёта установившегося режима).

i_1в=I_1m·sin (w₁t + j₁) , где

- амплитудное значение установившегося тока.

j=arctg(x₁/R₁)=arctg(w₁·t₁)

Таким образом ток определяется суммой составляющих:

i₁=I_1m·sin(w₁t+j_u–j)+A·e^-t/t.

Определим постоянную интегрирования исходя из начальных условий и с учётом законов коммутации:

i₁(0_–)=i₁(0₊); i₁(0₊)=A+I_1m·sin(w₁t+j_u–j)=0;

Окончательное решение

i₁=I_1m·[sin(w₁t+j_u+j)–sin(j_u–j)·e ^–t/t]