Дифференциальные уравнения двухобмоточного трансформатора.

Date: 2015-10-07; view: 458.

Исследование переходных процессов в ЭМ с взаимно неподвижными осями обмоток

В) Метод Рунге - Кутта 4-го порядка.

Б) Метод прогноз - коррекция.

А) Метод Рунге - Кутта 2 - го порядка.

Методы Рунге - Кутта.

Метод Эйлера.

Численные методы интегрирования дифференциальных уравнений

Достоинство : простота алгоритмизации.

Если уравнение задано в виде: ¶y / ¶t = f(t) определить y(t).

Формулы численного интегрирования:

y₁=y₀+Dt·f(t)|_t=0; y_i=y_i-1+Dt·f(t_i-1).

y'=f(x,y) ;

y_m+1=y_m+(k₁+k₂)·h/2 ,

где k₁=f(x_m,y_m)

k₂=f(x_m+h; y_m+h·k₁)

Y_m+1=Y_m+h·k₂

где k₂=f(x_m+h/2; y_m+k₁· h/2)

k₁=f(x_m, y_m)

Y_m+1=Y_m+(k₁+2·k₂+2·k₃+k₄)·h/6

где k₁=f(x_m, y_m)

k₂=f(x_m+h/2; y_m+k₁·h/2)

k₃=f(x_m+h/2; y_m+k₂·h/2)

k₄=f(x_m+h; y_m+k₃·h)

Практическое правило оценки погрешности по Рунге

Ошибка интегрирования :

O(h)=[y(h)–y(h/2)]/(2^r–1), где где r – порядок метода, y(h) – значение интеграла определённое с шагом h, y(h/2) ) – значение интеграла определённое с шагом h/2. Для метода 4-го порядка

O(h)=[y(h)–y(h/2)]/15

Уравнения баланса напряжений обмоток трансформатора :

u₁ =R₁ i₁ + L₁₁·dy₁₁/dt

-u₂ =R₂ i₂ + L₂₂·dy₂₂/dt (9.1)

Принимаем, что насыщение магнитной цепи отсутствует Þ

L₁₁ , L₂₂ , L₁₂ , L₂₁ = const

Взаимоиндуктивности : L₁₂ = L₂₁

Собственные индуктивности : L₁₁ = L_1s + L₁₂ , L₂₂ = L_2s + L₂₁

L_1s , L_2s – индуктивности рассеяния.

Потокосцепления : y₁₁ = L₁₁ i₁ + L₁₂ i₂ , y₂₂ = L₂₂ i₂ + L₂₁ i₁

u₁ = R₁ i₁ + L₁₁·di₁/dt + L₁₂·di₂/dt

-u₂ = R₂ i₂ + L₂₂·di₂/dt + L₂₁·di₁/dt (9.2)

Применим операторный метод.

U₁(p) = (R₁ + p L₁₁) i₁(p) + p L₁₂ i₂(p)

- U₂(p) = p L₁₂ i₁(p) + (R₂ + p L₂₂ i₂(p) (9.3)

В относительных единицах L₁₁ = x₁₁ , L₂₂ = x₂₂ , L₁₂ = x₁₂ .

Разрешим систему уравнений относительно токов обмоток:

(9.4)

U₂ можно выразить через ток нагрузку :

U₂ = R_N i₂ + x_N di₂ / dt ; U₂(p) = (R_N + p x_N) i₂(p)

где R_N , x_N – сопротивления нагрузки.

Пример : ВКЗ двухобмоточного трансформатора.

ВКЗ – внезапное короткое замыкание.

Считая U₂(p) = 0, получим :

(9.5)

Z₁(p) – полное операторное сопротивление первичной обмотки;

G₂(p) – полная операторная проводимость вторичной обмотки.

(9.6)

где X₁₁(p) – индуктивное операторное сопротивление первичной обмотки, равное

(9.7)

Пренебрегаем активными сопротивлениями, т.к. они в трансформаторах большой мощности значительно меньше индуктивных : R₁ =0 ; R₂ = 0.

Тогда : X₁₁(p)=X₁₁ – X₁₂² / X₂₂ = X₁₁' – переходное сопротивление трансформатора, сопротивление ограничивающее ток короткого замыкания.

Если U₁(t) = U_1m · sin (w₁t + a₀ ) и w₁=1 о.е. то изображение напряжения питания

U₁(p) = U₁(p·cos a₀ + p²·sin a₀) / ( p² + 1 ) (9.8)

Подставим (9.8) в (9.5)

(9.9)

F₂(p) = p² + 1 = 0 характеристическое уравнение, корни которого равны: p_1,2 = ± j .

F₂'(p) = 2p – производная характеристического уравнения.

Тогда по теореме разложения (теорема Хевисайда) оригинал равен:

(9.10)

или после преобразований

(9.11) , что при неблагоприятном моменте коммутации соответствует незатухающим колебаниям с амплитудой

Формула (9.11) весьма удобна для оценки ударного тока.

При a₀ = 0 апериодическая составляющая i_a наибольшая и наоборот при a₀= p / 2, i_a = 0 .

i_1max=2·U_1m /x₁₁'= i_уд (a₀ =0) При учёте активных сопротивлений обмоток (R₁¹0, R₂¹0) апериодическая составляющая затухает с постоянной времени T_k= x_k / R_k .