Формулы деления отрезка в данном отношении в пространстве

Date: 2015-10-07; view: 533.

Формулы деления отрезка в данном отношении на плоскости

Если известны две точки плоскости , то координаты точки , которая делит отрезок в отношении , выражаются формулами:

Для пространственных отрезков всё будет точно так же, только добавится ещё одна координата.

Если известны две точки пространства , то координаты точки , которая делит отрезок в отношении , выражаются формулами:

Если точка М является серединой отрезка , то ее координаты определяются по формулам

, .

17 вопрос.

Полярная система координат.

Полярная система координат задается точкой О называемой полюсом, а лучом l – полярной осью.

Суть задания какой- либо системы координат на плоскости состоит в том, чтобы каждой точке плоскости поставить в соответствие пару действительных чисел, определяющих положение этой точки на плоскости. В случае полярной системы координат роль этих чисел играют расстояние точки от полюса и угол между полярной осью и радиус– вектором этой точки. Этот угол j называется полярным углом.

Числа r и j называются полярными координатамиточки М, пишут М(r; j), при этом r называется полярным радиусом,j - полярным углом.

Можно установить связь между полярной системой координат и декартовой прямоугольной системой, если поместить начало декартовой прямоугольной системы в полюс, а полярную ось направить вдоль положительного направления оси Ох.

Тогда координаты произвольной точки в двух различных системах координат связываются соотношениями:

x = rcosj; y = rsinj; x² + y² = r²

r =

. Определяя величину j, следует установить четверть, в которой лежит искомый угол, и учесть, что .

18 вопрос.

Определение. Скалярным произведениемвекторов и называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.

× = ï ïï ïcosj

Если рассматривать векторы в декартовой прямоугольной системе координат, то

× = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b;

Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами: ;

Физический смысл скалярного произведения:Скалярное произведение силы F на вектор перемещения S равно работе А этой силы при перемещении материальной точки по вектору S: A = FS.

19 вопрос.

Свойства скалярного произведения:

× = ï ï²;

× = 0, если ^ или = 0 или = 0.

× = × ;

×( + ) = × + × ;

(m )× = ×(m ) = m( × ); m=const

20 вопрос.

Скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами равно сумме произведений одноименных координат этих векторов.

х₁х₂+у₁у₂+z₁z₂

21 вопрос.

Два ненулевых вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен девяноста градусам .

Для перпендикулярности двух ненулевых векторов формула и формула необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю, то есть, чтобы выполнялось равенство формула:

=0

условие перпендикулярности двух векторов в координатах имеет вид формула на плоскости, а в трехмерном пространстве формула.

A_xb_x+a_yb_y=0

A_xb_x+a_yb_y+a_zb_z=0

22 вопрос.

Векторным произведениемвекторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) , где j - угол между векторами и ,

2) вектор ортогонален векторам и

3) , и образуют правую тройку векторов.

Обозначается: или .

Физический смысл векторного произведения состоит в следующем: если вектор - сила, а вектор есть радиус-вектор точки приложения силы, имеющий свое начало в точке O, то момент силы относительно точки O есть вектор, равный векторному произведению радиуса-вектора точки приложения силы на силу , т. е.

23 вопрос.

Свойства векторного произведения векторов:

1) ;

2) , если ïï или = 0 или = 0;

3) (m )´ = ´(m ) = m( ´ );

4) ´( + ) = ´ + ´ ;

5) Если заданы векторы (x_a, y_a, z_a) и (x_b, y_b, z_b) в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то

´ =

6) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

24 вопрос.

Векторное произведение двух векторов a = {ax ; ay ; az} и b = {bx ; by ; bz} в декартовой системе координат - это вектор, значение которого можно вычислить следующим образом:

´ = =i (a_yb_z - a_zb_y) - j (a_xb_z - a_zb_x) + k (a_xb_y - a_yb_x)

a × b = {a_yb_z - a_zb_y ; a_zb_x - a_xb_z ; a_xb_y - a_yb_x}

25 вопрос.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору.

и , необходимо и достаточно, чтобы они были связаны

или

Пусть даны векторы . Эти векторы коллинеарны, если координаты векторов связаны отношением

два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору.