Расстояние от точки до прямой.
Date: 2015-10-07; view: 484.
Теорема. Если задана точка М(х0, у0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как 
.
8 вопрос. (Точно не уверенна, ибо без понятия, что конкретно он там имел в виду)
Каноническое уравнение. Два неколлиниарных вектора, параллельных плоскости, называются ее направляющими векторами. Из аксиом геометрии следует, что через любую точку проходит единственная плоскость с заданными напрвляющими векторами. 
Пусть плоскость π с направленными векторами p1 и p2 проходит через точку М0. Очевидно, точка М лежит в плоскости π тогда и только тогда, когда (рис. 1) векторы 
, p1, p2 компланарны, т.е. линейно зависимы.
С учетом условия неколлиниарности векторов p1 и p2 это равносильно тому, что вектор линейно выражается через p1 и p2:
u, v ∈ R. (5.3.1)
Теорема 5.6. В пространстве в аффинной системе координат Oxyz уравнение плоскости π, проходящей через точки М0(x0, y0, z0), с направляющими вектороми p1 = {m1, n1, k1} и p2 = {m2, n2, k2} имеет вид
(5.3.2)
Доказательство теоремы повторяет доказательство теоремы 5.2.
Уравнеие (5.3.2) называется каноническим уравнением плоскости.
Cледствие 2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки
М0(x0, y0, z0), М1(x1, y1, z1) и М2(x2, y2, z2), не лежащие на одной прямой, имеет вид
Параметрическое уравнение.Так же, как для прямой, условие (5.3.1) может быть переписано в виде
r = r0 + up1 + v2, u, v ∈ R, (5.3.3)
или, в координатной форме, в системе координат Oxyz
(5.3.4)
Уравнения (5.3.3), (5.3.4) называются параметрическими уравнениями плоскости в векторной и координатной формах.
Теорема 5.7. Поверхность в пространстве является плоскостью тогда и только тогда, когда она является алгебраической поверхностью первого порядка.
Доказательство теоремы повторяет доказательство теоремы 5.3 с той лишь разницей, что уравнение плоскости имеет вид
Ax + By + Cz + D = 0, где A2 + B2 + C2≠ 0, (5.3.5).
а уравнение (5.3.5) может быть записано в виде
(случаи B ≠ 0 и C ≠ 0 рассматриваются аналогично). Теорема доказана.
Уравнение (5.3.5) называется общим уравнением плоскости в пространстве. Вектор n = {A, B, С} называется вектором нормали к плоскости относительно уравнения (5.3.5).
Общее уравнение плоскости называется полным, если все коэффициенты А, В, С, D отличны от нуля.
Теорема 5.8. В аффинной системе координат Oxyz в пространстве вектор а = {m, n, k}, параллелен плоскости, заданной общим уравнением (5.3.5), тогда и только тогда, когда
Am + Bn + Сk = 0, (5.3.6)
Доказательство теоремы повторяет доказательство теоремы 5.4. Теорема доказана.
Замечание 3. Левые части условия (5.3.6) можно рассматривать как скалярные произведения вектора нормали n и вектора а в ортонормированном базисе. Таким образом, впрямоугольной декартовой системе координат вектор нормали n = {A, B, С} к плоскости (5.3.5) перпендикулярен этой плоскости.
Уравнение в отрезках. Полное уравнение (5.3.5) плоскости в пространстве может быть записано в следующем виде:
Полагая а = - D/А, b = - D/B, c = - D/C, получим эквивалентное уравнение
,
называемое уравнением плоскости в отрезках. Числа а, b, с в этом уравнении имеют простой геометрический смысл (рис. 2): они равны величинами отрезков, которые отсекает плоскость на осях координат.
Векторное уравнение. 1. Параметрическое уравнение (5.3.3) представляет собой векторное уравнение плоскости в пространстве через направляющие вектора. Оно пораждает другие формы векторных уравнений плоскости. Это уравнение означает компланарность векторов r - r0, p1 и p2, что согласно критерию компланарности (теорема 4.7) равносильно равенству
( r - r0, p1, p2) = 0 (5.3.7)
или, в силу линейности смешанного произведения,
(r, p1, p2) = D (5.3.8)
где D − константа, равная (r0, p1, p2).
2. Из аксиом геометрии следует, что в пространстве через заданную точку проходит единственная плокость, перпендикулярная заданному вектору.
Теорема 5.9. Уравнение плоскости в пространстве, проходящей через точку М0(r0) перпендикулярно вектору n, имеет вид
( r - r0, n) = 0, (5.3.9)
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости | | | Или, что то же самое, |