Линейное (векторное) и Евклидово пространства. Линейная зависимость векторов. Базисы системы векторов и координаты векторов. Подпространства.

Date: 2015-10-07; view: 386.

Рассмотрим такое множество R элементов в котором для любых двух элементов и определена сумма и для любого элемента и любого действительного числа определено произведение .

Если сложение множества R и умножение элемента этого множества на действительное число удовлетворяет следующим условиям:

1.

2.

3. существует такой элемент , что для любого ;

4. для каждого элемента существует элемент такой что ;

5. ;

6. ;

7.

8.

то множество R называется линейным пространством, а элементы этого пространства называются векторами.

Линейное пространство R называется евклидовым, если имеется правило, которое позволяет для каждых двух векторов xи yиз R построить действительное число, называемое скалярным произведением векторов xи yи обозначаемое , причём это правило удовлетворяет следующим условиям:

1.

2.

3. для любого действительного числа

4. , если

Следствия

1.

2.

3. для любого вектора

Для того, чтобы непустое подмножество линейного пространства было его линейным подпространством, достаточно выполнения следующих условий

1. Если векторы x и yпринадлежат , то x+yпринадлежат

2. Если вектор xпринадлежит , то для любого действительного a, вектор принадлежит .

Пусть векторы линейного пространства R. Вектор, определяемый равенством , где действительные числа, также принадлежит линейному пространству R. Этот вектор называется линейной комбинацией векторов .

Векторы называются линейно зависимыми, если выполнено равенство , где действительные числа, не все из которых равны нулю.

Рассмотрим систему векторов . Максимальная линейно не зависимая подсистема этой системы векторов называется базисом, а число называется рангом системы векторов.

Система векторов называется ортонормированной, если скалярное произведение векторов равно .

Пусть , где это базис линейного пространства R. Действительные числа называются координатами вектора y.