Строение линейных операторов

Date: 2015-10-07; view: 548.

Факторпространства векторных пространств

Программа курса

АЛГЕБРА (3 семестр)

Тип занятости

· Полная занятость

Обязательный курс

Объем учебной нагрузки: 36 час. - лекции, 36 час. – семинары.

Факторпространство векторного пространства. Универсальное свойство факторпространства и его следствия. Теорема о гомоморфизмах для векторных пространств. Связь факторпространств и линейных дополнений. Размерность факторпространства. Коразмерность. Связь матрицы оператора с матрицами его ограничения на инвариантное подпространство и индуцированного им оператора в факторпространстве.

2.1. Свойства нильпотентных операторов

Нильпотентные операторы. Спектр и характеристический многочлен нильпотентного оператора.

2.2. Корневые подпространства

Корневые подпространства линейного оператора. Их инвариантность. Связь между корневыми и собственными подпространствами. Линейная независимость корневых подпространств. Теорема о размерности корневого подпространства. Теорема о разложении пространства в прямую сумму корневых подпространств в случае алгебраически замкнутого поля.

2.3. Циклические операторы

Циклические подпространства, циклические операторы. Теорема о строении нильпотентного циклического оператора. Жордановы клетки и одноклеточные операторы.

2.4. Жорданова нормальная форма

Теорема о разложении нильпотентного оператора в прямую сумму циклических. Теорема о разложении произвольного оператора в прямую сумму одноклеточных. Ее «матричная переформулировка»: теорема о жордановой нормальной форме (существование жорданова базиса). Единственность жордановой нормальной формы.