Обязательная

Date: 2015-10-07; view: 466.

Литература

Кольца

Группы

3.1. Первоначальные определения и примеры

Группы. Примеры. Группа обратимых элементов кольца. Группы преобразований и их примеры (группы линейных операторов, группа движений евклидова пространства, группа диэдра). Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Образ и прообраз подгруппы. Ядро и образ гомоморфизма. Теорема Кэли.

3.2. Циклические группы

Циклические группы. Порядок элемента в группе. Его свойства. Теорема о классификации циклических групп. Теорема о подгруппах циклической группы.

3.3. Смежные классы, нормальные подгруппы и факторгруппы

Разбиение группы на левые и правые смежные классы по подгруппе. Индекс подгруппы. Формула Лагранжа. Ее следствия; малая теорема Ферма. Нормальные подгруппы. Факторгруппа. Характеризация нормальных подгрупп как ядер гомоморфизмов. Универсальное свойство факторгруппы. Теорема о гомоморфизмах групп. Примеры ее использования.

3.4. Действия групп на множествах

Действие группы на множестве. Действия как гомоморфизмы в группу перестановок. Эффективные действия. Примеры действий. Внутренние автоморфизмы. Центр группы. Орбиты действия. Классы сопряженности как орбиты. Транзитивные действия; примеры. Морфизмы G-множеств. Стабилизатор точки. Теорема об изоморфизме между орбитой точки и множеством левых смежных классов по ее стабилизатору. Характеризация однородных G-множеств как множеств левых смежных классов. Следствия: уравнение классов, нетривиальность центра p-группы.

3.5. Прямые произведения групп

Прямые произведения групп. Критерий разложимости группы в прямое произведение. Примеры. Лемма о факторизации по прямым сомножителям.

3.6. Системы образующих группы

Подгруппа, порожденная подмножеством группы. Её явное описание в случае произвольной группы и в случае абелевой группы. Конечно порожденные группы; примеры.

3.7. Конечно порожденные абелевы группы

Свободные конечно порожденные абелевы группы. Их описание. Теорема о независимости количества элементов базиса от выбора базиса. Ранг. Свойство проективности свободных конечно порожденных абелевых групп. Теорема о подгруппах свободной конечно порожденной абелевой группы. Теорема о согласованных базисах. Теорема о разложении конечно порожденной абелевой группы в прямую сумму бесконечных и примарных циклических групп. Подгруппы кручения и p-кручения. Теорема о «единственности» разложения конечно порожденной абелевой группы на бесконечные и примарные циклические слагаемые.

4.1. Кольца и алгебры: определения и примеры

Кольца и алгебры. Нильпотентные элементы и делители нуля. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец и алгебр. Ядро и образ гомоморфизма. Примеры колец и алгебр. Алгебра кватернионов. Кольцо многочленов с коэффициентами из произвольного кольца с единицей. Многочлены от нескольких переменных и их разложение на одночлены.

4.2. Идеалы и факторкольца

Идеалы в кольцах и алгебрах. Примеры. Двусторонний идеал, порожденный подмножеством кольца. Его явное описание в случае произвольного кольца и в случае коммутативного кольца. Главный идеал. Факторкольца и факторалгебры. Характеризация идеалов как ядер гомоморфизмов. Универсальное свойство факторкольца. Теорема о гомоморфизмах колец. Примеры ее использования.

4.3. Евклидовы кольца и кольца главных идеалов

Делимость в целостных кольцах. Ассоциированные элементы. Наибольший общий делитель. Евклидовы кольца. Примеры. Кольца главных идеалов. Теорема о том, что евклидово кольцо является кольцом главных идеалов. Интерпретация делимости в терминах идеалов. Существование наибольшего общего делителя набора элементов кольца главных идеалов. Взаимно простые элементы. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя в евклидовом кольце.

1. Винберг Э. Б. Курс алгебры. М.: Факториал, 2001.

2. Сборник задач по алгебре. Под ред. А.И. Кострикина. М.: Физматлит, 2001.