Индивидуальное задание по линейным пространствам и линейным преобразованиям

Date: 2015-10-07; view: 493.

Дополнительная

1. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Т.I. Москва, Физматлит, 2001. Т.II. Москва, Физматлит, 2000. Т.III. Москва, Физматлит, 2004.

2. Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука, 1986.

3. Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968.

Программа составлена

к.ф.-м.н., доц. Пирковским Алексеем Юльевичем

Кафедра нелинейного анализа и оптимизации

Факультет физико-математических и естественных наук

Задача №1 Является ли линейным пространством множество:

1. всех векторов V³ , если ` + = ´ , l = l. ?

2. всех дифференцируемых функций = f(t), = g(t), если ` + = f(t) .g(t), l = lf(t)?

3. всех векторов V³ , лежащих на оси OZ, с обычными операциями сложения и умножения на число?

4. всех линейных функций = f(t), = g(t), если ` + = f(t) .g(t), l =lf(t)?

5. всех векторов V³ , параллельных заданной прямой, с обычными операциями сложения и умножения на число?

6. всех функций = f(t), = g(t), принимающих отрицательные значения, если
+ = –f(t) .g(t), l == lf(t)?

7. симметрических матриц второго порядка?

8. всех нечётных функций = f(t), = g(t), заданных на отрезке [-1,1], если ` + = f(t) + g(t), l = lf(t)?

9. всех векторов V³ , концы которых лежат на данной прямой?

10. множество чисел вида а + , где а и b– рациональные числа, с обычными операциями сложения и умножения на число?

11. всех чётных на [-1,1] функций = f(t), = g(t), если ` + = f(t) + g(t), l = lf(t)?

12. всех непрерывных на [0,1] функций = f(t), = g(t), если ` + = f(t) + g(t), l = lf(t)?

13. всех невырожденных квадратных матриц = А_п, = В_п, если ` + = А_п.В_п, l = lА_п?

14. непрерывных на [0,1] функций, если a + b = f(t) + g(t), la = lf(t)?

15. Множество всех многочленов, удовлетворяющих условию Р(0) = 1?

Задача№2 Выяснить, является ли линейно независимой заданная система векторов указанного пространства. Если нет, выразить один из векторов этой системы через остальные.

1. a) пространства R³ `a<sub>1</sub> = [2,-3,1], `a₂ = [3,-1,5], `a₃ = [1, - 4, 3].

b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций cosx, sinx, sin2x на

(– ; ).

2. a) пространства R³ `a<sub>1</sub> = [5,-6,1], `а₂ = [3,-5,-2], `а₃ = [2,-1,3].

b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций 1/x, x, 1 на (0; 1) .

(использовать определитель Вронского).

3. a) пространства R³ `a<sub>1</sub> = [1,1,1], `a₂ = [1,2,3], `a₃ = [1, 3, 6].

b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций cosx, sinx, cos2x на (– ; ). (использовать определитель Вронского).

4. a) пространства R³ `a<sub>1</sub> = [3,2,-4], `а₂ = [4,1,-2], `а₃ = [5,2,-3].

b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций 1 + x², 1+2x², 1+3x² на (- Ґ ; + Ґ ) (использовать определитель Вронского).

5. a) пространства R³ `a<sub>1</sub> = [1,-1,2], `а₂ = [-1,1,-1], `а₃ = [2,-1,1].

b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций x, 3x, (1+x)² на (- Ґ ; + Ґ ) (использовать определитель Вронского).

6. a) пространства R³ `a<sub>1</sub> = [2,1,0], `а₂ = [-5,0,3], `а₃ = [3,4,3].

b)пространства непрерывно – дифференцируемых функций e^x , xe^x , x²e^x на (- Ґ ; + Ґ ) (использовать определитель Вронского).

7. a) пространства R³ `a <sub>1</sub> = [1,2, 3], `a ₂ = [6,5,9], `a ₃ = [7, 8, 9].

b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций x, 1 + x, (1+x)² на (- Ґ ; + Ґ ) (использовать определитель Вронского).

8. a) пространства R³ `a <sub>1</sub> = [7,1, -3], `a ₂ = [2,2,-4], `a ₃ = [3, -3, 5].

b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций 1, tgx, ctgx на (0; ) .

(использовать определитель Вронского).

9. a) пространства R³ `a <sub>1</sub> = [0,1,1], `a ₂ = [1,0,1], `a ₃ = [1,1,0].

b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций 1, e^x , (e^x – e^–x )/2 на (- Ґ ; + Ґ ) (использовать определитель Вронского).

10. a) пространства R³ `a <sub>1</sub> = [1,2, 3], `a ₂ = [4,5,6], `a ₃ = [7, 8, 9].

b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций 1, 2x, (1+x)² на (- Ґ ; + Ґ ) (использовать определитель Вронского).

11. a) пространства R³ `a <sub>1</sub> = [1, -1, 2], `a ₂ = [-1,1,-1], `a ₃ = [2, -1, 1].

b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций x, x², (1+x)² на (- Ґ ; + Ґ ) (использовать определитель Вронского).

12. a) пространства R³ `a = [5,3,4], `b = [3,3,2], `c = [8,1,3].

b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций 1, x, sinx на (- Ґ ; + Ґ ) (использовать определитель Вронского).

13. a) пространства R³ `a = [1,1,1], `b = [1,0,1], `c = [2,1,2].

b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций e^x , e^2x , e^3x на (- Ґ ; + Ґ ) (использовать определитель Вронского).

14. a) пространства R³ `a <sub>1</sub> = [2,-3,1], `a ₂ = [3,-1,5], `a ₃ = [1,-4,3].

b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций 1, x, cosx на (- Ґ ; + Ґ ) (использовать определитель Вронского).

15. a) пространства R³ `a = [1,4,6], `b = [1,-1,1], `c = [1,1,3].

b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций sinx, cosx, tgx на

(– ; ). (использовать определитель Вронского).

Задача №3 В базисе Б₁: {а₁ а₂ а₃} задано 4 вектора b₁, b₂, b₃ , х :

а) образуют ли векторы b₁, b₂, b₃ базис L³?

б) если да, то найти

в) найти координаты х в Б₂.

1. b₁ = (1,1,4/5), b₂ = (- 4, -1, 0), b₃ = (-1,1,1), х = (5,- 5, - 4 ).

2. b₁ = (1,1,-4), b₂ = (4/5,-1,0), b₃ = (-1,1,1), х = (7, -5, 10).

3. b₁ = (-1,-1,3), b₂ = (3/4, -1, 0), b₃ = (1,-1,1), х = (- 1,- 4, 8 ).

4. b₁ = (1,1,-3), b₂ = (3/4,-1,0), b₃ = (-1,1,1), х = (1, - 4, 8).

5. b₁ = (1,1,-2), b₂ = (2/3,-1,0), b₃ = (-1,1,1), х = (2, 6, -3).

6. b₁ = (1,1,8), b₂ = (8/7,-1,0), b₃ = (-1,1,1), х = (-1, 7, 14).

7. b₁ = (1,1,7/6), b₂ = (7,-1,0), b₃ = (-1,1,1), х = (-12,6,1).

8. b₁ = (1,1,7), b₂ = (7/6, -1, 0), b₃ = (-1,1,1), х = ( 4, 1, 13).

9. b₁ =(1,1,6/5), b₂ = (6,-1,0), b₃ = (-1,1,1),х = (10,5,1).

10. b₁ = (1,1,5), b₂ = (5/4,-1,0), b₃ = (-1,1,1), х = (1,4,8).

11. b₁ = (1,1,4/3), b₂ = (4,-1,0), b₃ = (-1,1,1), х = (6,3,1).

12. b₁ = (1,1,4), b₂ = (4/3,-1,0), b₃ = (-1,1,1), х = (1,3,6).

13. b₁ = (1,1,3/2), b₂ = (3,-1,0), b₃ = (-1,1,1), х = (2,4,1).

14. b₁ = (1,1,3), b₂ = (3/2,-1,0), b₃ = (-1,1,1), х = (1,2,4).

15. b₁ = (1,1,2), b₂ = (2,-1,0), b₃ = (-1,1,1), х = (6,-1,3).

Задача №4 В некотором базисе Б₁: {а₁, а₂, а₃} заданы три вектора g₁, g₂, g₃:

а) образуют ли они базис Б₂?

б) является ли этот базис ортонормированным?

в) построить по базису Б₂ : {g₁, g₂, g₃} ортонормированный базис {е₁, е₂, е₃}.

Задача №5 В пространстве V² задана декартова система координат. Базис {i , j}

повернули на угол a в указанном направлении. Нужно:

а) записать матрицу преобразования и формулы преобразования координат

б) найти координаты вектора х в новом базисе {i¢, j¢}.

1. a.= 135^о по часовой стрелке, х = -2i + j

2. a=135^о против часовой стрелки, х = i – 3j

3. a=60^о (против часовой стрелки.), х = 3i -2j

4. a= - 60^о (против часовой стрелки.), х =2i + 3j

5. a=270^о против часовой стрелки., х = i – 3j

6. a=210^о против часовой стрелки, х = 2i -3j

7. a=150^о по часовой стрелке, х = i -2j

8. a=150^о против часовой стрелки, х = i+2j

9. a=210^о по часовой стрелке, х = -3i +2j

10. a=60^о против часовой стрелки, х = (2,-3)

11. a=60^о по часовой стрелке, х = (-2,-3)

12. a= 45^о против часовой стрелки, х = (-1,3)

13. a=45^о по часовой стрелке, х = (2,4)

14. a=30^о по часовой стрелке, х = (-1,3)

15. a=30^о против часовой стрелки, х = (1,-1)

Задача №6 Заданы преобразования А, В, С пространства R³.

1) проверить линейность А, В, С

2) найти образ вектора х при заданном преобразовании

3) в каноническом базисе е₁=[1,0,0] , е₂=[0,1,0] , е₃=[0,0,1] составить матрицу одного линейного преобразования. В каноническом базисе Б₁ и базисе Б₂: {а₁, а₂, а₃}, где а₁=[1,1,1] , a₂=[1,1,0] , a₃=[1,0,0] , составить матрицы одного линейного преобразования. Показать, что эти матрицы подобны.

1. Аx = [x₃², 1 + x₂, x₁ ], Вx = [x₂ + 2x₃, x₁, x₂ ], Сx = [2x₂ , - x₃ , x₁], (В (В - С))x

2. Аx = [2x₁ + x₂ , 3x₃, x₁ ], Вx = [x₂, 1 + x₁, x₃ + x₂], Сx = [x₃ , - 2x₁, x₂], (2С + АС)x.

3. Аx = [x₂ + 2x₃, x₁, x₁ - x₃ ], Вx = [x₂ , 2x₁, x₃ ], Сx = [x₂ ,x₁² , 1 + x₃], (А (2В - А ))x.

4. Аx = [x₁² , 2x₃ , x₁ +2 ], Вx = [x₃, x₁ + 2x₂, x₁ – x₃], Сx = [x₂ , 2x₃, x₁], (В² - С)x.

5. Аx = [2x₂ , x₁ + x₂ , - x₃ ], Вx = [x₂ - 1, x₁, 2x₃], Сx = [x₂ , 2x₃, x₁], (А(А - С ))x.

6. Аx = [x₁ + x₃ , x₁ , x₁ - x₃ ], Вx = [x₂, 2x₃ , x₁], Сx = [x_{2 Ч} x₃, x₃, x₁], (А(В - А ))x.

7. Аx = [2x₁ + x₃ , x₁, x₂ - x₃ ], Вx = [x₂, 2x₁, x₃ ], Сx = [x₁ Ч x₃, x₂ , x₃], (А(2В - А)x.

8. Аx = [x₂ – x₃, x₁, x₁ + x₃ ], Вx = [2x₁ , x₂², x₃ ], Сx = [x₂ ,2x₃ , x₁], (А(А +С))х.

9. Аx = [x₂ – x₃ , x₁ , x₁+x₃ ], Вx = [x₂, 2x₃ , x₁], xС = [x₃ +1, x₁, x₂,], (2В - А²)x

10. Аx = [3x₁ , x₃, x₂ + x₃ ], Вx = [x₃, 2x₂, x₁ ], Сx = [x₁ + 1, x₂² , 3x₃], (А(А + В))х.

11. Аx = [x₁ , x₁ - 2x₂ – 3, 4x₁ ], Вx = [2x₂ + x₃, x₁ , x₃ + x₁], Сx = [2x₃, x₁, x₂ ], (ВС) x

12. Аx = [1 + x₁ Ч x₂ , x₂ , x₁+x₃ ], Вx = [x₂ – x₃, x₁ , x₂ + x₁], Сx = [x₂, 2x₃, x₁], (СВ)x

13. Аx = [x₂ – x₃ , x₁ , x₁+x₃ ], Вx = [x₂, 2x₃ , x₁], Сx = [x₁², x₂, x₃], (А² - В)x

14. Аx = [2x₂ – x₁ x₃ , x₂+x₃ ], Вx = [1 – x₁, x₁ + х₂, x₃], Сx = [x₃, 2x₂, x₁], (АВ + А)x.

15. Аx= [x₂ – x₃, x₁ , x₁+x₃ ], Вx = [x₂, 2x₃, x₁], Сx = [x₁, x₂², x₃+x₁], (В А)x.

Задача №7 В некотором базисе Б₁ : {a₁, a₂, a₃} пространства L³ задана матрица А преобразования А и вектор b:

1) используя определение, доказать, что b – собственный вектор А. Найти соответствующее собственное значение l

2) найти все собственные значения и собственные векторы.

3) найти ортонормированный базис, в котором матрица А имеет диагональный вид. Записать эту матрицу. Сделать проверку.

1. А = , b = (–2, 1, –2) 2. А = , b = (2, 1, 2) 3. А = , b = (2, 1, 2) 4. А = , b = (1, – 4, 1) 5. А = , b = (-2, 1, -2) 6. А = , b = (–1, 1, –2) 7. А = , b = (2, –1, –2) 8. А = , b = (2, 1, 1)

9. А = , b = (3, 3, 2) 10. А = , b = (2, 1, 2) 11. А = , b = (2, 2, 1) 12. А = , b = (2, 1, –2) 13. А = , b = (1, 1, 1) 14. А = , b = (2, 1, 2) 15. А = , b = (–2, –2, 1)

Задача №8 В декартовой системе координат V³ задано уравнение кривой 2-го порядка. Требуется:

1) используя теорию квадратичных форм, привести уравнение к каноническому виду

2) записать формулы преобразования координат (х,у)

3) построить кривую.

1. 3x² - 4xy + 3y² + 4x + 4y + 1 = 0.

2. 5x² + 4xy + 8y² - 32x - 56y + 80 = 0.

3. 19x² + 6xy + 11y² + 38x + 6y + 29 = 0.

4. 2x² - 2xy + 2y² + 6x - 6y - 6 = 0.

5. 3x² + 10xy + 3y² - 2x - 14y - 13 = 0.

6. 29x² - 24xy + 36y² + 82x - 96y - 91 = 0.

7. 50x² - 8xy + 35y² + 100x - 8y + 67 = 0

8. 25x² - 14xy + 25y² + 64x - 64y - 224 = 0.

9. 11x² - 20xy - 4y² – 20x - 8y + 1 = 0.

10. 5x² + 24xy - 5y² + 6 x + 4 y + 13 = 0

11. -3x² + 4xy - 3y² – 6x + 4y + 2 = 0.

12. 4xy + 3y² + 16x + 12y - 36 = 0

13. 7x² + 60xy + 32y² – 14x - 60y + 7 = 0

14. 14x² + 24xy + 21y² – 4x + 18y – 139 = 0

15. 3x² + 10 xy + 3y² – 2x – 14y – 13 = 0.