Случайные события и действия над ними. Виды случайных событий. Комбинации событий Пространство элементарных событий.

Date: 2015-10-07; view: 687.

Вопросы экзамена по алгебре и теории чисел для студентов 141-145 групп

(весна 2006/07 учебного года)

Основные вопросы

1. Факторпространство.

2. Сумма и пересечение подпространств.

3. Прямая сумма подпространств.

4. Прямая сумма пространств. Связь с прямой суммой под­
пространств.

5. Производная многочлена. Свойства производной. Форму­
ла Тейлора.

6. Кратные корни многочлена. Связь с производными.

7. Освобождение многочлена от кратных корней

8. Построение поля частных.

9. Рациональные функции. Правильные дроби и их свойства.

10. Примарные дроби и их свойства.

11. Разложение правильной рациональной функции в сумму
простейших дробей.

12. Формула Лагранжа для разложения на простейшие дроби.

13. Интерполяционная задача. Описание решений.

14. Интерполяционная формула Лагранжа. Метод Ньютона.

15. Формулы Виета.

16. Лексикографическое упорядочение одночленов многочле­
на от нескольких переменных, высший член. Симметри­
ческие многочлены. Примеры. Высший член симметриче­
ского многочлена.

Т7. Основная теорема о симметрических многочленах.

18. Редукция целочисленного многочлена. Редукционный при­
знак неприводимости.

19. Примитивные целочисленные многочлены и их свойства.
Теорема Гаусса о целочисленных многочленах.

20. Основная теорема арифметики для кольца целочисленных
многочленов. Факториальные кольца.

21. Алгоритм разложения на множители целочисленного мно­
гочлена.

22. Признак Эйзенштейна. Рациональные корни целочислен­
ного многочлена.

23. Циклические группы и их классификация.

24. Умножение подмножеств в группе, обращение подмноже­
ства, свойства. Критерий того, что подмножество является
подгруппой.

25. Правые смежные классы по подгруппе. Правое разложе­
ние Лагранжа. Индекс подгруппы. Левые смежные классы
и их количество.

26. Теорема Лагранжа о группах. Порядок элемента конечной
группы.

27. Нормальные подгруппы. Примеры.

28. Факторгруппа. Естественный эпиморфизм на факторгруп­
пу.

29. Гомоморфизм групп. Примеры. Ядро и образ.

30. Основная теорема о гомоморфизме. Применение к вычис­
лению факторгруппы.

31. Теорема о соответствии. Следствие.

32. Теорема Нётер об изоморфизме.

33. Подгруппа и нормальная подгруппа, порожденные дан­
ным множеством. Примеры.

34. Коммутант группы. Свойства коммутанта. Примеры.

35. Центр группы. Свойства центра. Примеры.

36. Действие группы на множестве. Примеры. Изоморфность
операторных множеств. Представление группы операто­
ров биекциями.

37. Стабилизаторы точек. Орбиты. Примеры. Операторное мно­
жество, на котором группа действует транзитивно.

38. Разложение на орбиты. Длины орбит. Число подгрупп, со­
пряженных с данной. Нетривиальность центра конечной
р-группы.

39. Симметрическая группа. Теорема Кэли.

40. Циклы. Разложение подстановки в произведение незави­
симых циклов. Образующие симметрической группы.

41. Четность подстановки. Знакопеременная группа и ее свой­
ства.

42. Автоморфизмы групп. Внутренние автоморфизмы. При­
меры.

43. Разложение группы в прямое произведение подгрупп. При­
меры прямого разложения. Коммутант и центр прямого
произведения.

44. Прямое произведение групп. Связь между двумя поняти­
ями прямого произведения в теории групп.

45. Формулировка основной теоремы о конечно порожденных
абелевых группах. Неразложимость компонент.

46. Построение свободной группы.

47. Свободная группа и несократимые слова. Свободная груп­
па конечного ранга.

48. Универсальное свойство свободной группы. Определение
свободной группы на основе универсального свойства.

49. Соотношения между образующими, тривиальные соотно­
шения. Определяющие соотношения и их следствия. При­
меры.

50. Описание группы с помощью образующих и определяю­
щих соотношений._ _. ___ _

51. Теорема Дика. Генетический код диэдральной группы.

52. Примеры задания группы с помощью образующих и опре­
деляющих соотношений.

Дополнительные вопросы

53. Билинейная и полуторалинейная формы. Эрмитова фор­
ма.

54. Матрица Грама полуторалинейной формы, ее изменение
при замене базиса. Ранг формы.

55. Теорема Лагранжа об эрмитовых формах.

56. Скалярное произведение и его свойства. Длина вектора,
угол между векторами.

57. Евклидово и унитарное пространства.

58. Ортонормированный базис.

59. Унитарная и ортогональная группы.

60. Процесс ортогонализации.

61. Свойства ортогонального дополнения в евклидовом или
унитарном пространстве.

62. Квадратичная форма как многочлен. Квадратичные фор­
мы и симметрические матрицы.

63. Теорема Лагранжа о квадратичных формах.

64. Квадратичная форма на линейном пространстве. Связь
между двумя определениями квадратичной формы.

65. Закон инерции вещественных квадратичных форм. Ин­
дексы инерции.

66. Теорема Якоби.

67. Положительно определенные квадратичные формы. Кри­
терии.

68. Приведение вещественной квадратичной формы к диаго­
нальному виду ортогональным преобразованием перемен­
ных. Коэффициенты диагонального вида и матрица орто­
гонального преобразования.

В различных разделах науки и техники нередко возникают ситуации, когда результат каждого из многих проводимых опытов заранее предугадать невозможно, однако можно исследовать закономерности, возникающие при проведении серии опытов. Нельзя, напри-мер, точно сказать, какая сторона монеты окажется сверху при данном броске: герб или цифра – но при большом количестве бросков число выпадений герба приближается к по-ловине количества бросков; нельзя заранее предсказать результат одного выстрела из дан-ного орудия по данной цели, но при большом числе выстрелов частота попадания прибли-жается к некоторому постоянному числу. Исследование вероятностных закономерностей массовых однородных явлений составляет предмет теории вероятностей.

Основным интуитивным понятием классической теории вероятностей является случайное событие. События, которые могут произойти в результате опыта, можно подразделить на три вида:

а) достоверное событие – событие, которое всегда происходит при проведении опыта;

б) невозможное событие – событие, которое в результате опыта произойти не может;

в) случайное событие – событие, которое может либо произойти, либо не произойти. Например, при броске игральной кости достоверным событием является выпадение числа очков, не превышающего 6, невозможным – выпадение 10 очков, а случайным – выпадение 3 очков.

Алгебра событий.

1. Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из событий А и В. Суммой нескольких событий, соответ-ственно, называется событие, заключающееся в том, что произошло хотя бы одно из этих событий.

Назовем все возможные результаты данного опыта его исходами и предположим, что множество этих исходов, при которых происходит событие А (исходов, благоприятных событию А), можно представить в виде некоторой области на плоскости. Тогда множество исходов, при которых произойдет событие А+В, является объединением множеств исходов, благоприятных событиям А или В (рис. 1).

2. Произведением АВсобытий А и В называется событие, состоящее в том, что произошло и событие А, и событие В. Аналогично произведением нескольких событий называется событие, заключающееся в том, что произошли все эти события.

Геометрической иллюстрацией множества исходов опыта, благоприятных появлению произведения событий А и В, является пересечение областей, соответствующих исходам, благоприятным А и В.

3. Разностью А\B событий А и В называется событие, состоящее в том, что А произошло, а В – нет.

Введем еще несколько категорий событий.

4. События А и В называются совместными, если они могут произойти оба в результате одного опыта. В противном случае (то есть если они не могут произойти одновременно) события называются несовместными.

Замечание 1. Если изобразить графически области исходов опыта, благоприятных несовместным событиям, то они не будут иметь общих точек.

Замечание 2. Из определения несовместных событий следует, что их произведение является невозможным событием.

5. Говорят, что события А₁, А₂,…,А_п образуют полную группу, если в результате опыта обязательно произойдет хотя бы одно из событий этой группы.

Замечание. В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовмест-ны, то в результате опыта произойдет одно и только одно из них. Такие события называют элементарными событиями.

6. События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них является более возможным, чем другое.