Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Теория делимости.

Date: 2015-10-07; view: 489.

Кольцо многочленов от одного переменного над полем является кольцом главных идеалов, т. е. любой его идеал может быть порожден одним элементом.

Более того, кольцо многочленов от одного переменного над полем является евклидовым кольцом.

Кольцо главных идеалов — кольцо, каждый идеал которого является главным. В случае некоммутативного кольца различают кольцо главных правых идеалов и кольцо главных левых идеалов.

Для кольца R идеалом называется подкольцо, замкнутое относительно умножения на элементы из R. При этом идеал называется левым (соответственно правым), если он замкнут относительно умножения слева (соответственно справа) на элементы из R. Идеал, являющийся одновременно левым и правым, называется двусторонним. Двусторонний идеал часто называется просто идеалом. В коммутативном случае все эти три понятия совпадают и всегда применяется термин идеал.

Более точно: Идеалом кольца R называется такое подкольцо I кольца R, что

1. произведение (условие на правые идеалы);

2. произведение (условие на левые идеалы).

Аналогично для полугруппы её идеалом называется подполугруппа, для которой верно какое-нибудь из этих условий (или оба для двустороннего идеала), то же самое и для алгебры

Делимость

Многочлен, который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (над данным полем), в противном случае — неприводимым. Неприводимые многочлены играют в кольце многочленов роль, сходную с ролью простых чисел в кольце целых чисел. Например, верна теорема: если произведение pq делится на неприводимый многочлен λ, то p или q делится на λ. Каждый многочлен, степени большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени).

Например, многочлен x⁴ + 2, неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на два множителя в поле вещественных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел.

Вообще, каждый многочлен от одного переменного x разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебры).

Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем для любого n > 2 существуют многочлен от n переменных, неприводимые в любом расширении этого поля. Такие многочлены называются абсолютно неприводимыми.