Свойства определителя n –го порядка

Date: 2015-10-07; view: 417.

Матрица и её определитель.

Определение. Прямоугольной матрицей А размеров m n называется произвольная система чисел, расположенная в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов. Записывается в виде: . (1) Сокращенная форма этой записи имеет вид: А = .

1. Вычислить определитель: . Ответ: -1. Определитель 2-го порядка вычисляется по формуле: , Определитель есть число: положительное, отрицательное или нуль.

2. Вычислить определитель: . Ответ: - 9. Решение. При вычислении определителя 3-го порядка пользуются правилом Саррюса (правилом треугольников):

= .

Свойства определителей n-го порядка:

1) Определитель не меняется при замене его строк столбцами с теми же номерами.

2) Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

3) Определитель меняет свой знак на противоположный при перестановке двух строк.

4) Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

5) Общий множитель всех элементов некоторой строки определителя можно вынести за знак определителя.

6) Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

7) Если все элементы i-той строки определителя n-го порядка представлены в виде суммы двух слагаемых: , i = 1, 2, …, n, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i-той такие же, как и в заданном определителе, а i-тая строка в одном из слагаемых состоит из элементов ; в другом - из элементов .

Введем следующие обозначения: если - элемент определителя d, то через обозначим минор этого элемента, т.е. минор (n – 1)-го порядка, получающийся после вычеркивания из определителя i-ой строки и j –го столбца. Алгебраическим дополнением элемента называется число . Имеет место следующее разложение определителя d по i-ой строке: , (2) т.е. определитель d равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки на их алгебраические дополнения. Аналогичное разложение определителя можно получить и по любому его столбцу.