Смешанное (векторно-скалярное) произведение трех векторов
Date: 2015-10-07; view: 509.
Определение: смешанным произведением трех векторов a, b, c называется произведение вида (a 
b)×c, где два первых вектора перемножаются векторно, а их произведение умножаются скалярно на третий вектор.
Смешанное произведение – величина скалярная, так как последнее действие – скалярное умножение.
Абсолютная величина смешанного произведения некомпланарных векторов a, b, c равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, причем знак его зависит от ориентации этих векторов: если a, b, c образуют правую тройку, то их смешанное произведение будет положительно, для левой же тройки – отрицательно.
Свойства смешанного произведения.
1. Смешанное произведение не изменяется:
1)если перемножаемые вектора переставлять в круговом порядке: (a b)×c=(b c)×a=(c a)×b
2) если поменять местами знаки векторного и скалярного умножения: (a b)×c=a×(b c), поэтому можно записать abc
- Перестановка в смешанном произведении любых двух векторов изменяет лишь его знак: acb=-abc; bac=-abc; cba=-abc.
- Смешанное произведение обращается в нуль, если
1) хотя бы один из перемножаемых векторов есть нуль-вектор;
2) два из перемножаемых векторов коллинеарны;
3) три перемножаемых вектора компланарны.
Вычисление смешанного произведения
трех векторов, разложенных по ортам
a=axi+ayj+azk; b=bxi+byj+bzk; c=cxi+cyj+czk; то abc= 
В этом можно убедиться, разложив определитель по элементам первой строки.
Вычисление объема
четырехгранной пирамиды (тетраэдр)
Объем такой пирамиды равен одной шестой объема параллелепипеда, построенного на его сходящихся в одной вершине ребрах. А объем этого параллелепипеда – абсолютная величина смешанного произведения трех векторов, общее начало которых находится в одной из вершин пирамиды, а концы – в остальных трех ее вершинах. Если вершинами пирамиды служат точки M1, M2, M3, M4, то полагая a=M1M2; b=M1M3; c=M1M4, получим V=1/6[abc]
Условие компланарности трех векторов.
Три вектора a, b, c компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю: abc=0 или =0.
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| Векторное произведение двух векторов | | | Арифметические векторные пространства. Конечномерные евклидовы пространства. |