Арифметические векторные пространства. Конечномерные евклидовы пространства.
Date: 2015-10-07; view: 448.
Возвращаясь от геометрических пространств к векторным, осознаем, что вектором размерности n (или n-мерным вектором) называется упорядоченная совокупность из n чисел поля P. Если а – вектор, определенный числами а1, а2,…, аn – координатами вектора, то будем писать a=(a1, a2,…,an). Если векторы a и b размерности n заданы своими координатами: a=(a1, a2,…,an), b=(b1, b2,…,bn), то суммой этих векторов называется вектор a+b=(a1+b1, a2+b2,…, an+bn).
Произведением вектора а на число l из поля P называется вектор lа=(lа1, lа2,…,lаn).
Нулевым называется вектор 0=(0, 0,…, 0). Вектором, противоположным вектору а называется –а=(-а1, -a2,…, -an).
Определение. Множество всех n-мерных векторов, для которых установлены операции сложения и умножения на число, называются арифметическим векторным пространством и обозначаются Rn. Размерность пространства Rn обозначается dim Rn. Линейное пространство, изоморфное пространству Rn, называется конечномерным. В пространстве Rn существует n линейно независимых n-мерных векторов, при этом любые n+1 векторы линейно зависимы.
Определение. Базисом n-мерного векторного пространства называют любую совокупность, состоящую из n линейно независимых векторов этого пространства.
Теорема 1. Для того, чтобы система n векторов пространства Rn составляла базис, необходимо и достаточно, чтобы определитель, составленный из координат этих векторов, был отличен от нуля.
Определение. Если в n-мерном линейном векторном пространстве определено скалярное произведение и оно обладает следующими свойствами:
1) a×b=b×a
2) (a+b)×c=a×c+b×c
3) l(a×b)=(la)×b=a×(lb)
4) a×a>0, если a¹0 то пространство называется n-мерным евклидовым - Еn.
Скалярное произведение любого aÎEn на себя называется скалярным квадратом a. Длиной a в евклидовом пространстве называется квадратный корень из скалярного квадрата этого вектора. Вектор, длина которого равна единице, называется нормированным. Если a – ненулевой вектор, то 
является нормированным вектором. Для любых двух векторов a и b в евклидовом пространстве выполняется неравенство: (a×b)2£(a×a)(b×b), называется неравенством Коши-Буняковского.
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| Смешанное (векторно-скалярное) произведение трех векторов | | | Ортогональный базис. |