Ортогональный базис.
Date: 2015-10-07; view: 404.
Базис e1, e2,…, en евклидова пространства называется ортогональным, если (ei× ek)=0 при i¹k.
Справедлива следующая теорема: во всяком евклидовом пространстве имеется ортогональный базис. Если ортогональный базис состоит из нормированных векторов, то этот базис называется ортонормированным. Для ортонормированного базиса e1, e2,..., en выполняются равенства
(ei× ek)= 
Если в n-мерном евклидовом пространстве известен какой-нибудь базис f1, f2,…, fn, то в этом пространстве всегда можно найти и ортонормированный базис e1, e2,…, en.
Любой вектор x евклидова пространства, заданный в ортонормированном базисе, определяется равенством x=x1e1+x2e2+…+xnen.
Длина вектора x находится по формуле |x|= 
.
Два вектора x=x1e1+x2e2+…+xnen и y=h1e1+h2e2+…+hnen линейно зависимы (коллинеарны, пропорциональны) тогда и только тогда, когда x1/h1=x2/h2=…=xn/hn.
Условие ортогональности векторов xи yимеет вид x1h1+x2h2+…+xnhn=0.
Угол между двумя векторами x и yнаходится по формуле cosj= 
.
В следующих задачах ортонормированный базис n-мерного евклидова пространства обозначается через e1, e2,…, en.
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| Арифметические векторные пространства. Конечномерные евклидовы пространства. | | | Определители, свойства, вычисление. |