Определители, свойства, вычисление.

Date: 2015-10-07; view: 405.

Линейная алгебра. Определители.

ЛЕКЦИЯ N6.

1.Определители, свойства, вычисление. 24

2.Определители высших порядков. 27

Рассмотрим таблицу вида:

Эта таблица, состоящая из двух строк и двух столбцов, называется матрицей (причем второго порядка). Числа с двумя индексами a₁₁, a₁₂, а₂₁, a₂₂ называются элементами матрицы. Первый индекс означает номер строки, второй – номер столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Число (a₁₁a₂₂ – a₂₁a₁₂) называется детерминантом (определителем) этой матрицы и обозначается символом:

или det(A)

Итак, det(A)=a₁₁a₂₂-a₂₁a₁₂, то есть для вычисления определителя матрицы надо из произведения элементов, стоящих на главной диагонали, вычесть произведение элементов, стоящих на побочной ее диагонали.

Пример: =-9-(-12)=3

Свойства этого определителя:

Свойство 1: При перестановке строк матрицы на место столбцов и обратно

определитель матрицы не меняется.

Пусть задана матрица

, а матрица получена из A перестановкой строк на место

столбцов.

A^* называется транспонированной матрицей по отношению к A.

Тогда, det(A^*)= =a₁₁a₂₂-a₂₁a₁₂=det(A).

Свойство 2: При перестановке двух столбцов (или строк) абсолютное значение

определителя матрицы не меняется, а знак меняется на противоположный.

Пусть задана матрица

A₁= , полученная из A перестановкой столбцов.

Тогда, det(A₁)= =a₁₂a₂₁-a₁₁a₂₂=-(a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁)=-det(A)

Свойство 3:Если матрица имеет два одинаковых столбца (или строки), то

определитель матрицы равен нулю.

Свойство 4: Если все элементы какого-либо столбца (строки) матрицы умножить на

одно и то же число, то определитель матрицы окажется умноженным на то же число.

A= ; A₁=

det(A)=a₁₁a₂₂-a₂₁a₁₂; det(A₁)=k×a₁₁a₂₂-k×a₂₁a₁₂=k×(a₁₁a₂₂-a₂₁a₁₂)=k×det(A).

Свойство 5:Если все элементы какого-либо столбца (или строки) матрицы равны

нулю, то определитель матрицы равен нулю.

Свойство 6: Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк матрицы

пропорциональны, то det(A)=0.

A= ; det(A)=k×a₁₁a₂₁-k×a₁₁a₂₁=0.

Свойство 7:Пусть все элементы какого-либо столбца (строки) матрицы A

представляют собой сумму двух слагаемых, и пусть соответственные столбцы матрицы A₁ и A₂ состоят из этих слагаемых.

A= ; A₁= ; A₂= .

Тогда, det(A)=det(A₁)+det(A₂).

Свойство 8:Определитель матрицы не меняется, если к элементам какого-либо

столбца (или строки) матрицы прибавить элементы другого столбца (или строки), умноженные на одно и то же число.

Пусть A= и A₁=

Тогда, det A₁= = + =det(A)+k =det(A).

Рассмотрим матрицу порядка n.

A= .

Возьмем произвольный элемент a_ij этой матрицы A, удалим ту строку и тот столбец, на пересечении которых стоит этот элемент (т.е. i-ую строку и j-ый столбец).

Тогда получим матрицу (n-1)-го порядка. Определитель этой матрицы (n-1)-го порядка называется минором матрицы A, соответствующим элементу a_ij, и обозначается M_ij.

Пусть исходная матрица была 3-го порядка: A= .

Она имеет девять миноров, являющихся определителями матриц 2-го порядка.

Запишем минор M_13, М₂₂ и т.д.

M₁₃=

M₂₂= и так далее.

Определение:определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по следующему правилу:

det(A)= =a₁₁ -a₁₂ +a₁₃ =a₁₁M₁₁-a₁₂M₁₂+a₁₃M₁₃ (1)

Эта формула называется разложением определителя матрицы по элементам первой строки.

Так как свойства определителя матрицы 2-го порядка верны и для определителей матриц 3-го порядка и высших порядков, то, учитывая 1-ое свойство, можно записать разложение определителя матрицы по элементам первого столбца:

det(A)=a₁₁M₁₁-a₂₁M₂₁+a₃₁M₃₁.

А учитывая 2-ое свойство (при перестановке двух строк (или столбцов) матрицы значение определителя матрицы не меняется, а знак меняется на противоположный), можем записать разложение определителя матрицы по элементам любой строки.

det(A)=-a₂₁M₂₁+a₂₂M₂₂-a₂₃M₂₃

det(A)=a₃₁M₃₁-a₃₂M₃₂+a₃₃M₃₃

и столбца

det(A)=-a₁₂M₁₂+a₂₂M₂₂-a₃₂M₃₂

det(A)=a₁₃M₁₃-a₂₃M₂₃+a₃₃M₃₃

Определение:Алгебраическим дополнением элемента a_ij матрицы A называется минор M_ij этой матрицы, взятый со знаком плюс, если сумма i+j четна и минус, если i+j – нечетна.

A_ij=(-1)^i+jM_ij; i=1,2,3; j=1,2,3.

Теперь формулы для вычисления определителя матрицы через его миноры можно записать так:

det(A)=a₁₁A₁₁+a₁₂A₁₂+a₁₃A₁₃

det(A)=a₂₁A₂₁+a₂₂A₂₂+a₂₃A₂₃

det(A)=a₃₁A₃₁+a₃₂A₃₂+a₃₃A₃₃

det(A)=a₁₁A₁₁+a₂₁A₂₁+a₃₁A₃₁

det(A)=a₁₂A₁₂+a₂₂A₂₂+a₃₂A₃₂

det(A)=a₁₃A₁₃+a₂₃A₂₃+a₃₃A₃₃.

Свойство 9:определитель матрицы третьего порядка равен сумме попарных произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на их алгебраические дополнения.

Свойство 10:сумма попарных произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) матрицы равна нулю.

a₁₁A₂₁+a₁₂A₂₂+a₁₃A₂₃=0.