![]() |
Определители высших порядков.Date: 2015-10-07; view: 390.
Пусть дана матрица n-го порядка
A=
Определителем этой матрицы называется число, полученное по следующему правилу: det(A)=a11A11+a12A12+a13A13+…+a1nA1n (2), причем Aij=(-1)i+jMij, а минор Mij будет определителем матрицы (n-1)-го порядка. Формула (2) есть разложение определителя по элементам первой строки. Все свойства (10 штук) верны для матриц n-го порядка. Проверим, например, свойство 3°. 3° - если матрица имеет две одинаковые строки (или столбца), то определитель этой матрицы равен нулю. Доказательство: пусть в матрице A совпадают i-е и k-е строки. Переставим в этой матрице i-ую строку на место k-ой и обратно. Так как строки одинаковы, то ни сама матрица, ни ее определитель не изменяются, но вместе с тем при перестановке в матрице двух любых строк определитель матрицы изменит свой знак, то есть det(A)=-det(A), а это возможно, только, если det(A)=0. Свойство 4° - если все элементы какой-либо строки (столбца) умножить на одно и то же число, то определитель окажется умноженным на то же число. Рассмотрим матрицы
A=
Разлагая определители этих матриц по элементам i-ой строк, получим det(A)= det(A/)= Итак, det(A/)=p×det(A).
|